A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
g(t, x)=\sum_{n} f_{n}(x) t^{n}
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Laguerre:
L_{n}(x)=\frac{1}{2 \pi i} \oint \frac{e^{-x t /(1-t)}}{(1-t) t^{n+1}} d t

Passo 1

Resumindo: queremos achar a função geradora
g(t,x)\;=\;\sum_{n=0}^{\infty}L_{n}(x)\,t^{n}
sabendo que
L_{n}(x) =\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-\,\frac{x s}{1-s}}}{(1-s)\,s^{\,n+1}}\,ds
onde o contorno é um círculo pequeno em torno de s=0. Usaremos essa representação integral para somar a série.

Passo 2

Escrevemos a série dentro da integral, trocando soma e integral:
g(t,x) =\sum_{n=0}^{\infty}L_{n}(x)\,t^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-\,\frac{x s}{1-s}}}{(1-s)\,s^{n+1}}\,ds\;t^{n} =\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-\,\frac{x s}{1-s}}}{1-s}\,\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{s^{n+1}}\,ds.

Passo 3

Dentro da integral aparece a série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{s^{n+1}} =\frac{1}{s}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{t}{s}\Bigr)^{n} =\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{t}{s}} =\frac{1}{s-t}.
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g(t,x) =\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-\,\frac{x s}{1-s}}}{(1-s)\,(s-t)}\,ds.

Passo 4

O integrando tem polos simples em s=1 e em s=t. Como o contorno original circula apenas em torno de s=0 e tomamos \lvert t\rvert<1, o único polo dentro do contorno é s=t. Pelo Teorema dos Resíduos,
g(t,x) =\mathrm{Res}_{s=t}\!\Biggl[\frac{e^{-\,\frac{x s}{1-s}}}{(1-s)\,(s-t)}\Biggr] =\frac{e^{-\,\frac{x t}{1-t}}}{1-t}.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}L_{n}(x)\,t^{n} =\frac{1}{1-t}\,\exp\!\Bigl(-\tfrac{x\,t}{1-t}\Bigr).

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