A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
g(t, x)=sumn fn(x) t^n
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Laguerre:
Ln(x)=12 pi i oint e^-x t /(1-t)(1-t) t^n+1 d t

Passo 1

Resumindo: queremos achar a função geradora
g(t,x);=;sumn=0^inftyLn(x),t^n
sabendo que
Ln(x) =12pi iointe^-,x s1-s(1-s),s^,n+1,ds
onde o contorno é um círculo pequeno em torno de s=0. Usaremos essa representação integral para somar a série.

Passo 2

Escrevemos a série dentro da integral, trocando soma e integral:
g(t,x) =sumn=0^inftyLn(x),t^n =sumn=0^infty12pi iointe^-,x s1-s(1-s),s^n+1,ds;t^n =12pi iointe^-,x s1-s1-s,sumn=0^inftyt^ns^n+1,ds

Passo 3

Dentro da integral aparece a série geométrica
sumn=0^inftyt^ns^n+1 =1ssumn=0^inftyl(tsr)^n =1scdot11-tfracts =1s-t
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g(t,x) =12pi iointe^-,x s1-s(1-s),(s-t),ds

Passo 4

O integrando tem polos simples em s=1 e em s=t. Como o contorno original circula apenas em torno de s=0 e tomamos lvert trvert<1, o único polo dentro do contorno é s=t. Pelo Teorema dos Resíduos,
g(t,x) =Ress=t!gl[e^-,x s1-s(1-s),(s-t)gr] =e^-,x t1-t1-t

Resposta

sumn=0^inftyLn(x),t^n =11-t,exp!l(-tfracx,t1-tr)

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