A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Laguerre:
Laguerre:
Passo 1
Resumindo: queremos achar a função geradora
sabendo que
onde o contorno é um círculo pequeno em torno de
. Usaremos essa representação integral para somar a série.
Passo 2
Escrevemos a série dentro da integral, trocando soma e integral:
Passo 3
Dentro da integral aparece a série geométrica
Logo
Passo 4
O integrando tem polos simples em
e em
. Como o contorno original circula apenas em torno de
e tomamos
, o único polo dentro do contorno é
. Pelo Teorema dos Resíduos,