7.1.4 A função f(z) é analítica ao longo do eixo real, exceto para um pólo de terceira ordem em z=x0. A expansão de Laurent em torno de z=x0 tem a forma
f(z)=a-3(z-x0)^3+a-1z-x0+g(z)
com g(z) analítica em z=x0. Mostre que a técnica do valor principal de Cauchy é aplicável no sentido de que
(a) lim de<a 0integral-infty^x0-de<a f(x) d x+integralx0+de<a^infty f(x) d x é finito.
(b) integralCx0 f(z) d z= pm i pi a-1,
em que Cx0 denota um semicírculo pequeno em torno de z=x0.

Passo 1

O enunciado trata de uma função f(z) que é analítica ao longo do eixo real, exceto num pólo de ordem três em z=x0. Em torno desse pólo temos a expansão de Laurent
f(z)=a-3(z-x0)^3+a-1z-x0+g(z)
com g(z) analítica em z=x0. Vamos usar a definição de valor principal de Cauchy para lidar com a singularidade em x0 e a parametrização de um semicírculo pequeno para calcular a integral em torno desse pólo.

Passo 2

Prova de (a): para qualquer de<a>0 escrevemos
integral-infty^x0-de<af(x),dx+integralx0+de<a^inftyf(x),dx
que é convergente longe de x0 porque f não tem outras singularidades no real. Resta examinar a vizinhança de x0. Faça t=x-x0; então para |t|<=de<a
f(x0+t)=a-3t^3+a-1t+g(x0+t)
A soma das duas integrais em valor principal envolve
limde<ato0lintegral-de<a^de<aa-3t^3,dt+integral-de<a^de<aa-1t,dt+integral-de<a^de<ag(x0+t),dtr
Como 1/t^3 e 1/t são funções ímpares, seus integrais simétricos em torno de zero em valor principal se anulam. E integral-de<a^de<ag(x0+t),dt=O(de<a)to0. Logo não há divergência na passagem de<ato0 e o valor principal é finito.

Passo 3

Prova de (b): para calcular
integralCx0f(z),dz
parametrize um semicírculo de raio rhoto0 em torno de x0 por
z=x0+rho e^itheta, dz=irho e^ithetadtheta,
onde theta vai de 0 a pi (semicírculo superior) ou de 0 a -pi (inferior). Substituindo a expansão de Laurent:
  1. Para a parte a-3/(z-x0)^3 vem
a-3integral irho e^ithetarho^3e^3itheta,dtheta =i,a-3,rho^-2integral e^-2ithetadtheta
que se anula quando theta vai de 0 a pmpi.
2) Para g(z), que é analítica, o módulo da integral é O(rho)to0.
3) Para a-1/(z-x0) temos
a-1integral irho e^ithetarho e^itheta,dtheta = i,a-1integral dtheta = i,a-1,(pmpi) = pm ipi,a-1
Portanto
integralCx0f(z),dz=pm ipi,a-1

Resposta

(a) O valor principal da integral ao longo do real é finito.
(b) integralCx0f(z),dz=pm ipi,a-1

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