7.1.4 A função f(z) é analítica ao longo do eixo real, exceto para um pólo de terceira ordem em z=x_{0}. A expansão de Laurent em torno de z=x_{0} tem a forma
f(z)=\frac{a_{-3}}{\left(z-x_{0}\right)^{3}}+\frac{a_{-1}}{z-x_{0}}+g(z)
com g(z) analítica em z=x_{0}. Mostre que a técnica do valor principal de Cauchy é aplicável no sentido de que
(a) \lim _{\delta \rightarrow 0}\left\{\int_{-\infty}^{x_{0}-\delta} f(x) d x+\int_{x_{0}+\delta}^{\infty} f(x) d x\right\} é finito.
(b) \int_{C_{x_{0}}} f(z) d z= \pm i \pi a_{-1},
em que C_{x_{0}} denota um semicírculo pequeno em torno de z=x_{0}.

Passo 1

O enunciado trata de uma função f(z) que é analítica ao longo do eixo real, exceto num pólo de ordem três em z=x_{0}. Em torno desse pólo temos a expansão de Laurent
f(z)=\frac{a_{-3}}{(z-x_{0})^{3}}+\frac{a_{-1}}{z-x_{0}}+g(z)
com g(z) analítica em z=x_{0}. Vamos usar a definição de valor principal de Cauchy para lidar com a singularidade em x_{0} e a parametrização de um semicírculo pequeno para calcular a integral em torno desse pólo.

Passo 2

Prova de (a): para qualquer \delta>0 escrevemos
\int_{-\infty}^{x_{0}-\delta}f(x)\,dx+\int_{x_{0}+\delta}^{\infty}f(x)\,dx
que é convergente longe de x_{0} porque f não tem outras singularidades no real. Resta examinar a vizinhança de x_{0}. Faça t=x-x_{0}; então para |t|\le\delta
f(x_{0}+t)=\frac{a_{-3}}{t^{3}}+\frac{a_{-1}}{t}+g(x_{0}+t).
A soma das duas integrais em valor principal envolve
\lim_{\delta\to0}\Bigl\{\int_{-\delta}^{\delta}\frac{a_{-3}}{t^{3}}\,dt+\int_{-\delta}^{\delta}\frac{a_{-1}}{t}\,dt+\int_{-\delta}^{\delta}g(x_{0}+t)\,dt\Bigr\}.
Como 1/t^{3} e 1/t são funções ímpares, seus integrais simétricos em torno de zero em valor principal se anulam. E \int_{-\delta}^{\delta}g(x_{0}+t)\,dt=O(\delta)\to0. Logo não há divergência na passagem \delta\to0 e o valor principal é finito.

Passo 3

Prova de (b): para calcular
\int_{C_{x_{0}}}f(z)\,dz
parametrize um semicírculo de raio \rho\to0 em torno de x_{0} por
z=x_{0}+\rho e^{i\theta},\quad dz=i\rho e^{i\theta}d\theta,
onde \theta vai de 0 a \pi (semicírculo superior) ou de 0 a -\pi (inferior). Substituindo a expansão de Laurent:
  1. Para a parte a_{-3}/(z-x_{0})^{3} vem
a_{-3}\int \frac{i\rho e^{i\theta}}{\rho^{3}e^{3i\theta}}\,d\theta =i\,a_{-3}\,\rho^{-2}\int e^{-2i\theta}d\theta
que se anula quando \theta vai de 0 a \pm\pi.
2) Para g(z), que é analítica, o módulo da integral é O(\rho)\to0.
3) Para a_{-1}/(z-x_{0}) temos
a_{-1}\int \frac{i\rho e^{i\theta}}{\rho e^{i\theta}}\,d\theta = i\,a_{-1}\int d\theta = i\,a_{-1}\,(\pm\pi) = \pm i\pi\,a_{-1}.
Portanto
\int_{C_{x_{0}}}f(z)\,dz=\pm i\pi\,a_{-1}.

Resposta

(a) O valor principal da integral ao longo do real é finito.
(b) \displaystyle \int_{C_{x_{0}}}f(z)\,dz=\pm i\pi\,a_{-1}.

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