7.1.4 A função
é analítica ao longo do eixo real, exceto para um pólo de terceira ordem em
. A expansão de Laurent em torno de
tem a forma
com
analítica em
. Mostre que a técnica do valor principal de Cauchy é aplicável no sentido de que
(a)
é finito.
(b)
,
em que
denota um semicírculo pequeno em torno de
.
(a)
(b)
em que
Passo 1
O enunciado trata de uma função
que é analítica ao longo do eixo real, exceto num pólo de ordem três em
. Em torno desse pólo temos a expansão de Laurent
com
analítica em
. Vamos usar a definição de valor principal de Cauchy para lidar com a singularidade em
e a parametrização de um semicírculo pequeno para calcular a integral em torno desse pólo.
Passo 2
Prova de (a): para qualquer
escrevemos
que é convergente longe de
porque
não tem outras singularidades no real. Resta examinar a vizinhança de
. Faça
; então para
A soma das duas integrais em valor principal envolve
Como
e
são funções ímpares, seus integrais simétricos em torno de zero em valor principal se anulam. E
. Logo não há divergência na passagem
e o valor principal é finito.
Passo 3
Prova de (b): para calcular
parametrize um semicírculo de raio em torno de
por
parametrize um semicírculo de raio
onde
vai de
a
(semicírculo superior) ou de
a
(inferior). Substituindo a expansão de Laurent:
- Para a parte
vem
que se anula quando
vai de
a
.
2) Para , que é analítica, o módulo da integral é
.
3) Para temos
2) Para
3) Para
Portanto
Resposta
(a) O valor principal da integral ao longo do real é finito.
(b)
(b)