A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
g(t, x)=sumn fn(x) t^n
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Bessel modificada:
In(x)=12 pi i oint e^(x / 2)(t+1 / t) t^-n-1 d t

Passo 1

O enunciado nos dá a representação integral da função de Bessel modificada de ordem inteira
In(x)=12pi ioint e^x2l(u+u^-1r),u^-n-1,du
e pede a função geradora
g(t,x)=sumn=-infty^inftyIn(x),t^n
O conteúdo é usar séries de potências e o teorema de resíduos de Cauchy para obter g(t,x).

Passo 2

Começamos escrevendo diretamente
g(t,x)=sumn=-infty^inftyIn(x),t^n =sumn=-infty^infty12pi ioint e^x2(u+u^-1)u^-n-1,du;t^n
Como o contorno não depende de n, podemos trocar soma e integral:
g(t,x) =12pi ioint e^x2(u+u^-1) sumn=-infty^inftyl(tur)^nu^-1,du

Passo 3

Dentro do integrando aparece a série geométrica em n:
sumn=-infty^inftyl(tfractur)^n =uu-t,
válida para |t|<|u|. Logo
g(t,x) =12pi ioint e^x2(u+u^-1)u-t,du
Pela fórmula dos resíduos, o único polo dentro do contorno é u=t, de resíduo
Resl[tfrace^x2(u+u^-1)u-t,,u=tr] =e^x2(t+t^-1)
Portanto
g(t,x) =e^x2l(t+t^-1r)

Passo 4

Concluímos que a expansão em série de potências de
exp!l(tfracx2(t+t^-1)r)
em t reproduz exatamente os coeficientes In(x).

Resposta

sumn=-infty^inftyIn(x),t^n =exp!l(tfracx2l(t+t^-1r)r)

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