A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Bessel modificada:
Bessel modificada:
Passo 1
O enunciado nos dá a representação integral da função de Bessel modificada de ordem inteira
e pede a função geradora
O conteúdo é usar séries de potências e o teorema de resíduos de Cauchy para obter
.
Passo 2
Começamos escrevendo diretamente
Como o contorno não depende de
, podemos trocar soma e integral:
Passo 3
Dentro do integrando aparece a série geométrica em
:
válida para
. Logo
Pela fórmula dos resíduos, o único polo dentro do contorno é
, de resíduo
Portanto
Passo 4
Concluímos que a expansão em série de potências de
em
reproduz exatamente os coeficientes
.