A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
g(t, x)=\sum_{n} f_{n}(x) t^{n}
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Bessel modificada:
I_{n}(x)=\frac{1}{2 \pi i} \oint e^{(x / 2)(t+1 / t)} t^{-n-1} d t

Passo 1

O enunciado nos dá a representação integral da função de Bessel modificada de ordem inteira
I_{n}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint e^{\frac{x}{2}\bigl(u+u^{-1}\bigr)}\,u^{-n-1}\,du
e pede a função geradora
g(t,x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{n}(x)\,t^{n}.
O conteúdo é usar séries de potências e o teorema de resíduos de Cauchy para obter g(t,x).

Passo 2

Começamos escrevendo diretamente
g(t,x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{n}(x)\,t^{n} =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi i}\oint e^{\frac{x}{2}(u+u^{-1})}u^{-n-1}\,du\;t^{n}.
Como o contorno não depende de n, podemos trocar soma e integral:
g(t,x) =\frac{1}{2\pi i}\oint e^{\frac{x}{2}(u+u^{-1})} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\Bigl(\frac{t}{u}\Bigr)^{n}u^{-1}\,du.

Passo 3

Dentro do integrando aparece a série geométrica em n:
\sum_{n=-\infty}^{\infty}\Bigl(\tfrac{t}{u}\Bigr)^{n} =\frac{u}{u-t},
válida para |t|<|u|. Logo
g(t,x) =\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{e^{\frac{x}{2}(u+u^{-1})}}{u-t}\,du.
Pela fórmula dos resíduos, o único polo dentro do contorno é u=t, de resíduo
\operatorname{Res}\bigl[\tfrac{e^{\frac{x}{2}(u+u^{-1})}}{u-t},\,u=t\bigr] =e^{\frac{x}{2}(t+t^{-1})}.
Portanto
g(t,x) =e^{\frac{x}{2}\bigl(t+t^{-1}\bigr)}.

Passo 4

Concluímos que a expansão em série de potências de
\exp\!\Bigl(\tfrac{x}{2}(t+t^{-1})\Bigr)
em t reproduz exatamente os coeficientes I_{n}(x).

Resposta

\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{n}(x)\,t^{n} =\exp\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\bigl(t+t^{-1}\bigr)\Bigr).

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