Calule as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que a soma de duas delas é 25 m , o volume e a área total .
Passo 1
Resumindo o enunciado, seja e duas dimensões cuja soma é m e a terceira dimensão. Temos as condições:
O conteúdo é resolução de sistema algébrico envolvendo soma, produto e soma de produtos.
Passo 2
Da área total segue
xy+yz+zx=300
Definindo p=xy e usando x+y=25, pelo volume obtemos
z=900p
Substituindo em xy+yz+zx=p+z(x+y) dá
p+25cdot900p=300
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por p resulta na equação
p^2-300p+22500=0
Passo 4
O discriminante é
De<a=300^2-4cdot22500=0,
portanto há raiz dupla
p=3002=150
Passo 5
Como xy=p=150 e x+y=25, x e y são raízes de
t^2-25t+150=0,
cuja solução é
t=25pm52,
isto é, x=15 m e y=10 m (ou vice-versa).
Passo 6
Finalmente
z=900xy=900150=6 m
Resposta
As dimensões do paralelepípedo são 10 m, 15 m e 6 m.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 289