(Canadá Open Challenge-97) Dois cubos possuem suas faces pintadas de vermetho ou azul. O primeiro cubo possui cinco faces vermelhas e uma face azul. Quando os dois cubos são jogados simultaneamente, a probabilidade de que a cor da face superior mostrada seja a mesma é 1 / 2. Quantas faces vermelhas existem no segundo cubo?
Solução:
Seja \times a quantidade de faces vermelhas no segundo cubo. Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de as duas faces superiores sejam vermelhas \dot{e} p_{v}=\frac{5}{6} \cdot \frac{x}{6}=\frac{5 x}{36}. Analogamente, a probabilidade de que as duas faces superiores sejam azuis é: p_{\text {azul }}=\frac{1}{6} \cdot \frac{(6-x)}{6}=\frac{6-x}{36}.
Portanto: \frac{5 x}{36}+\frac{6-x}{36}=\frac{1}{2} \Rightarrow 6+4 x=18 \Rightarrow x=3.

Passo 1

O enunciado apresenta dois cubos cujas faces são pintadas de vermelho ou azul. O cubo 1 tem cinco faces vermelhas e uma azul; o cubo 2 tem x faces vermelhas e 6 - x azuis. Eles são lançados simultaneamente e pedem a probabilidade de que as faces superiores tenham a mesma cor igual a 1/2. Vamos usar probabilidade de eventos independentes.

Passo 2

Seja x o número de faces vermelhas no segundo cubo. Então ele tem 6 - x faces azuis. As probabilidades de cada resultado em um lançamento isolado são:
\displaystyle P(\text{vermelho no cubo 1}) = \frac{5}{6},
\displaystyle P(\text{azul no cubo 1}) = \frac{1}{6},
\displaystyle P(\text{vermelho no cubo 2}) = \frac{x}{6},
\displaystyle P(\text{azul no cubo 2}) = \frac{6 - x}{6}.

Passo 3

Como os lançamentos são independentes,
– Probabilidade de ambas as faces serem vermelhas:
p_{\mathrm{v}} = \frac{5}{6}\cdot\frac{x}{6} = \frac{5x}{36}.
– Probabilidade de ambas as faces serem azuis:
p_{\mathrm{a}} = \frac{1}{6}\cdot\frac{6 - x}{6} = \frac{6 - x}{36}.
Para ter a mesma cor no topo, soma-se as duas:
\frac{5x}{36} + \frac{6 - x}{36} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Multiplicando por 36 em ambos os lados:
5x + (6 - x) = 18 \quad\Longrightarrow\quad 4x + 6 = 18 \quad\Longrightarrow\quad 4x = 12 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.

Resposta

O segundo cubo possui 3 faces vermelhas.

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