(FGV-SP) Se um investidor aplicar hoje P reais a uma taxa de juros mensal igual a i, ele poderá sacar R reais por mês (começando daqui a um mês), durante n meses, até esgotar seu saldo bancário. Sabendo-se que
P=R cdot (1+i)^n-1(1+i)^n cdot i
a) calcule R para que ele esgote seu saldo 1 mês após aplicar R 5000,00$, à taxa de juros de 2% ao mês.
b) expresse , à taxa de juros de 2% ao mês b) expresse em função de P, R e i.

Passo 1

O enunciado diz que se um investidor aplica hoje P reais a uma taxa mensal i, ele faz saques mensais de valor R, começando daqui a um mês, durante n meses, até zerar o saldo. A fórmula dada é
P = R cdot (1+i)^n - 1(1+i)^n , i
Na parte (a) temos P = 5000, i = 0,02 e n = 1. Queremos achar R. Na parte (b) vamos isolar n em função de P, R e i.

Passo 2

Para a parte (a), substituímos P=5000, i=0,02 e n=1 na fórmula:
5000 ;=; R ,cdot,(1+0,02)^1 - 1(1+0,02)^1cdot0,02 ;=; R ,cdot,1,02 - 11,02cdot0,02 ;=; R ,cdot,0,021,02cdot0,02 ;=; R ,cdot,11,02
Logo,
5000 = R1,02 Longrightarrow R = 5000 times 1,02

Passo 3

Calculando R:
R = 5000 times 1,02 = 5100
Ou seja, ele deve sacar R = 5100 reais no m^es seguinte.

Passo 4

Para a parte (b), partimos da fórmula original e isolamos (1+i)^n.
P = R cdot (1+i)^n - 1(1+i)^n,i ;Longrightarrow; P,(1+i)^n,i = Rl((1+i)^n - 1r)
Reagrupando termos com (1+i)^n:
P,i,(1+i)^n = R,(1+i)^n - R Longrightarrow (R - P,i),(1+i)^n = R Longrightarrow (1+i)^n = RR - P,i
Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
n = ln!l(tfracRR - P,ir)ln(1+i)

Resposta

a) ;R = 5100 reais.
b) n = ln!l(tfracRR - P,ir)ln(1+i).

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