Para o caso muito especial \lambda=0 e q(x)=0 a equação de autovalor adjunta se torna
\frac{d}{d x}\left[p(x) \frac{d u(x)}{d x}\right]=0
satisfeita por
\frac{d u}{d x}=\frac{1}{p(x)}
Use essa expressão para obter uma “segunda” solução para o seguinte:
(b) Equação de Laguerre,
Nota: Em todos os três casos, u_{1}(x)=1.

Passo 1

Estamos tratando da equação de Laguerre no caso especial \lambda=0, que em forma de Sturm–Liouville fica
\frac{d}{dx}\!\bigl[p(x)\,y'(x)\bigr]=0,
com solução conhecida u_{1}(x)=1. Pelo enunciado, a “segunda” solução satisfaz
\frac{du}{dx}=\frac{1}{p(x)}.

Passo 2

Precisamos identificar p(x) na equação de Laguerre. A forma padrão
x\,y''+(1-x)\,y'+\lambda\,y=0
pode ser escrita como
\frac{d}{dx}\!\bigl[x\,e^{-x}\,y'(x)\bigr]+\lambda\,e^{-x}\,y(x)=0,
logo, para \lambda=0 temos
p(x)=x\,e^{-x}\,.

Passo 3

Usando p(x)=x\,e^{-x}, obtemos
\frac{du}{dx}=\frac{1}{x\,e^{-x}}=\frac{e^{x}}{x}\,.

Passo 4

Integramos para encontrar u_{2}(x):
u_{2}(x)=\int\frac{e^{x}}{x}\,dx
que, por definição, é a função integral exponencial. Em notação padrão,
u_{2}(x)=\int^{x}\frac{e^{s}}{s}\,ds=\mathrm{Ei}(x).

Resposta

u_{2}(x)=\int^{x}\frac{e^{s}}{s}\,ds=\mathrm{Ei}(x).

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