Para o caso muito especial
e
a equação de autovalor adjunta se torna
satisfeita por
Use essa expressão para obter uma “segunda” solução para o seguinte:
(b) Equação de Laguerre,
Nota: Em todos os três casos,
.
(b) Equação de Laguerre,
Passo 1
Estamos tratando da equação de Laguerre no caso especial
, que em forma de Sturm–Liouville fica
com solução conhecida
. Pelo enunciado, a “segunda” solução satisfaz
Passo 2
Precisamos identificar
na equação de Laguerre. A forma padrão
pode ser escrita como
logo, para
temos
Passo 3
Usando
, obtemos
Passo 4
Integramos para encontrar
:
que, por definição, é a função integral exponencial. Em notação padrão,