CEFET - O mmc de três números é formado exclusivamente pelos fatores primos 2;3 e 7, todos com o mesmo expoente. Dois desses números são 21 e 98. Determine o terceiro que não é divisível por 7 .

Passo 1

O enunciado pede o valor de um terceiro número x tal que o mmc de 21, 98 e x seja
2^k3^k7^k
com expoente k igual para os três fatores, sabendo ainda que x não é divisível por 7. Vamos usar a definição de mmc via expoentes de fatores primos.

Passo 2

Fatorando os dois números conhecidos:
21 = 3 cdot 7
98 = 2 cdot 7^2
Portanto
nu2(21)=0, nu3(21)=1, nu7(21)=1
nu2(98)=1, nu3(98)=0, nu7(98)=2

Passo 3

Se x não é divisível por 7, então nu7(x)=0. Como o mmc deve ser 2^k3^k7^k, temos
k ;=;maxl(nu7(21),,nu7(98),,nu7(x)r);=;max(1,2,0);=;2

Passo 4

Para o primo 2 impomos
maxl(nu2(21),,nu2(98),,nu2(x)r)=k=2,
e como nu2(21)=0 e nu2(98)=1 segue nu2(x)=2. De modo análogo, para 3:
maxl(nu3(21),,nu3(98),,nu3(x)r)=k=2
e como nu3(21)=1, nu3(98)=0 obtemos nu3(x)=2. Logo
x = 2^2 cdot 3^2 = 36

Resposta

36

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