CEFETEQ - O Máximo Divisor Comum e o Mínimo Múltiplo Comum de dois números naturais são,respectivamente, iguais a 6 e 60. Sabendo que o menor dos dois números é múltiplo de 4, calcule o maior.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois números naturais a e b com
gcd(a,b)=6 e lcm(a,b)=60, e que o menor deles é múltiplo de 4. Queremos encontrar o maior número. Para isso, vamos usar a relação entre produto, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum, e depois aplicar a condição de múltiplo de 4.

Passo 2

Usamos a propriedade
a,b ;=;gcd(a,b),lcm(a,b)
Substituindo gcd(a,b)=6 e lcm(a,b)=60, obtemos
a,b = 6cdot 60 = 360

Passo 3

Como gcd(a,b)=6, podemos escrever
a = 6x, b = 6y,
com gcd(x,y)=1. Substituindo em a,b=360
6xcdot 6y = 360 Longrightarrow 36,xy = 360 Longrightarrow xy = 10

Passo 4

Procuramos pares (x,y) de inteiros positivos, coprimos, com xy=10 e x<= y. As decomposições de 10 são
(x,y) = (1,10),;(2,5),;(5,2),;(10,1)
Como exigimos x<= y e gcd(x,y)=1, só restam (1,10) e (2,5).

Passo 5

A condição extra é que o menor número a=6x seja múltiplo de 4. Isso implica
6x equiv 0 pmod4 Longrightarrow 3x equiv 0 pmod2 Longrightarrow x equiv 0 pmod2
Entre os candidatos x=1 e x=2, apenas x=2 é par.

Passo 6

Com x=2 e y=5 temos
a = 6cdot 2 = 12, b = 6cdot 5 = 30
Portanto, o maior número é b=30.

Resposta

30

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