(FGV-SP) Sejam as matrizes e X^t, a matriz transposta de X. A representação gráfica do conjunto de pontos de coordenadas ( x, y ) que satisfazem a equação matricial X cdot A cdot X^t=B é:
a) uma hipérbole com excentricidade igual a 54.
b) uma hipérbole com excentricidade igual a 75.
c) uma elipse com distância focal igual a 2 raiz10.
d) uma elipse com distância focal igual a 2 raiz21.
e) uma parábola com eixo de simetria vertical.
Passo 1
O enunciado dá a matriz-linha X=[,x;y,], a matriz diagonal
A = 4&00&25
e o escalar B=100. Queremos achar a curva no plano (x,y) que satisfaz
X,A,X^t = B
Isso envolve reconhecer uma forma quadrática e classificá-la como elipse, hipérbole ou parábola e, se for elipse, calcular sua distância focal.
Passo 2
Expandindo o produto matricial, temos
Logo, a condição vira
Passo 3
Para identificar o tipo de curva, escrevemos em forma padrão dividindo por 100:
Essa é a equação típica de uma elipse com semi-eixos a e b.
Passo 4
Na forma dfracx^2a^2 + dfracy^2b^2=1, temos
a^2 = 25, b^2 = 4,
portanto
a = 5, b = 2
Num elipse, a distância focal total é 2c, onde
c = raiza^2 - b^2 = raiz25 - 4 = raiz21
Passo 5
Assim, a distância entre os dois focos é
2c = 2raiz21
Portanto a curva é uma elipse com distância focal 2raiz21.
Resposta
(d) uma elipse com distância focal igual a 2raiz21.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 153