(FGV-SP) Sejam as matrizes X=[llx & y], A=[rr4 & 0 0 & 25], B=[100] e X^t, a matriz transposta de X. A representação gráfica do conjunto de pontos de coordenadas ( x, y ) que satisfazem a equação matricial X cdot A cdot X^t=B é:
a) uma hipérbole com excentricidade igual a 54.
b) uma hipérbole com excentricidade igual a 75.
c) uma elipse com distância focal igual a 2 raiz10.
d) uma elipse com distância focal igual a 2 raiz21.
e) uma parábola com eixo de simetria vertical.

Passo 1

O enunciado dá a matriz-linha X=[,x;y,], a matriz diagonal
A = 4&00&25
e o escalar B=100. Queremos achar a curva no plano (x,y) que satisfaz
X,A,X^t = B
Isso envolve reconhecer uma forma quadrática e classificá-la como elipse, hipérbole ou parábola e, se for elipse, calcular sua distância focal.

Passo 2

Expandindo o produto matricial, temos
Logo, a condição vira

Passo 3

Para identificar o tipo de curva, escrevemos em forma padrão dividindo por 100:
4x^2100 + 25y^2100 = 1 Longrightarrow x^225 + y^24 = 1
Essa é a equação típica de uma elipse com semi-eixos a e b.

Passo 4

Na forma dfracx^2a^2 + dfracy^2b^2=1, temos
a^2 = 25, b^2 = 4,
portanto
a = 5, b = 2
Num elipse, a distância focal total é 2c, onde
c = raiza^2 - b^2 = raiz25 - 4 = raiz21

Passo 5

Assim, a distância entre os dois focos é
2c = 2raiz21
Portanto a curva é uma elipse com distância focal 2raiz21.

Resposta

(d) uma elipse com distância focal igual a 2raiz21.

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