Um cilindro está circunscrito a uma esfera. Determine as razões da superfície e do volume da esfera para a superfície e o volume do cilindro.
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera de raio
e um cilindro circunscrito a essa esfera. Para resolver, vamos precisar das fórmulas:
– Área da superfície da esfera: .
– Volume da esfera: .
– Área total do cilindro (com tampas): .
– Volume do cilindro: .
– Área da superfície da esfera:
– Volume da esfera:
– Área total do cilindro (com tampas):
– Volume do cilindro:
Passo 2
Como o cilindro é circunscrito à esfera, ele tangencia a esfera nos polos (altura) e no “equador” (raio). Logo,
Passo 3
Calcular as áreas em função de
.
Área da esfera:
Área da esfera:
Área total do cilindro (usando
):
Passo 4
Razão entre as áreas:
Passo 5
Calcular os volumes em função de
.
Volume da esfera:
Volume da esfera:
Volume do cilindro (com
):
Passo 6
Razão entre os volumes:
Resposta
A razão da superfície da esfera para a superfície do cilindro é
e a razão do volume da esfera para o volume do cilindro é também
.