Um cilindro está circunscrito a uma esfera. Determine as razões da superfície e do volume da esfera para a superfície e o volume do cilindro.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera de raio R e um cilindro circunscrito a essa esfera. Para resolver, vamos precisar das fórmulas:
– Área da superfície da esfera: Sesf = 4pi R^2.
– Volume da esfera: Vesf = tfrac43pi R^3.
– Área total do cilindro (com tampas): Scil = 2pi R,h + 2pi R^2.
– Volume do cilindro: Vcil = pi R^2,h.

Passo 2

Como o cilindro é circunscrito à esfera, ele tangencia a esfera nos polos (altura) e no “equador” (raio). Logo,
raio do cilindro = R, h = 2R

Passo 3

Calcular as áreas em função de R.
Área da esfera:
Sesf = 4pi R^2
Área total do cilindro (usando h=2R):
Scil = 2pi R cdot 2R + 2pi R^2 = 4pi R^2 + 2pi R^2 = 6pi R^2

Passo 4

Razão entre as áreas:
SesfScil = 4pi R^26pi R^2 = 46 = 23

Passo 5

Calcular os volumes em função de R.
Volume da esfera:
Vesf = 43pi R^3
Volume do cilindro (com h=2R):
Vcil = pi R^2 cdot 2R = 2pi R^3

Passo 6

Razão entre os volumes:
VesfVcil = tfrac43pi R^32pi R^3 = tfrac432 = 46 = 23

Resposta

A razão da superfície da esfera para a superfície do cilindro é tfrac23 e a razão do volume da esfera para o volume do cilindro é também tfrac23.

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