Dado um tetraedro regular, estude o poliedro
que tem como vértice os pontos médios das arestas do tetraedro. Se
é o lado do tetraedro, calcule a área total e o volume de P.
Passo 1
O enunciado dá um tetraedro regular de aresta
e pede a área total e o volume do poliedro
cujos vértices são os pontos médios das arestas desse tetraedro. O conteúdo envolve identificação do poliedro formado pelos pontos médios (que se mostra um octaedro regular) e uso das fórmulas de área e volume de um octaedro de aresta conhecida.
Passo 2
Para mostrar que
é um octaedro regular, colocamos o tetraedro em coordenadas de forma simétrica. Tomemos inicialmente os vértices
cuja aresta vale
Para que a aresta seja
, escalamos todos os vértices pelo fator
Passo 3
Os pontos médios de cada aresta tornam-se, após o escalamento,
Esses seis pontos são precisamente os vértices de um octaedro centrado na origem. A distância entre, por exemplo,
e
é
logo
é um octaedro regular de aresta
Passo 4
A área de um octaedro regular de aresta
é dada por
Substituindo
,
Passo 5
O volume de um octaedro regular de aresta
é
Tomando
,
Resposta
A área total de
é
e o volume de
é