Dado um tetraedro regular, estude o poliedro P que tem como vértice os pontos médios das arestas do tetraedro. Se ell é o lado do tetraedro, calcule a área total e o volume de P.

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro regular de aresta ell e pede a área total e o volume do poliedro P cujos vértices são os pontos médios das arestas desse tetraedro. O conteúdo envolve identificação do poliedro formado pelos pontos médios (que se mostra um octaedro regular) e uso das fórmulas de área e volume de um octaedro de aresta conhecida.

Passo 2

Para mostrar que P é um octaedro regular, colocamos o tetraedro em coordenadas de forma simétrica. Tomemos inicialmente os vértices
A=(1,1,1), B=(1,-1,-1), C=(-1,1,-1), D=(-1,-1,1),
cuja aresta vale
|A-B|=raiz(0)^2+(2)^2+(2)^2=raiz8=2raiz2
Para que a aresta seja ell, escalamos todos os vértices pelo fator
k=ell2raiz2

Passo 3

Os pontos médios de cada aresta tornam-se, após o escalamento,
(pm k,0,0),(0,pm k,0),(0,0,pm k)
Esses seis pontos são precisamente os vértices de um octaedro centrado na origem. A distância entre, por exemplo, (k,0,0) e (0,k,0) é
raiz(k-0)^2+(0-k)^2 ;=; kraiz2 ;=;ell2,
logo P é um octaedro regular de aresta
s=ell2

Passo 4

A área de um octaedro regular de aresta s é dada por
A = 8cdotl(área de um triângulo equilátero de lado sr) =8cdotraiz34,s^2 =2raiz3,s^2 áâá
Substituindo s=ell/2,
AP = 2raiz3,l(ell2r)^2 =2raiz3,ell^24 =raiz32,ell^2

Passo 5

O volume de um octaedro regular de aresta s é
V = raiz23,s^3
Tomando s=ell/2,
VP = raiz23,l(ell2r)^3 =raiz23,ell^38 =raiz224,ell^3

Resposta

A área total de P é
raiz32,ell^2
e o volume de P é
raiz224,ell^3

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