Dois teleféricos, T1 e T2, partem de uma estação E situada num plano horizontal, em direção aos picos P1 e P2 de duas montanhas. Determine a distância entre P1 e P2, sabendo que os teleféricos percorreram 1500 m e 2900 m , respectivamente, e que a primeira montanha tem 900 m de altura e a segunda 2000 m e que os pés das montanhas e E estão em linha reta.

Passo 1

O enunciado descreve dois teleféricos que saem de uma estação E sobre um plano horizontal e vão até os picos P1 e P2. As arestas EP1 e EP2 medem, respectivamente, 1500 m e 2900 m, e as alturas das montanhas são 900 m e 2000 m. Os pés das montanhas e E estão sobre uma mesma reta. Para resolver, vamos usar o Teorema de Pitágoras para obter as projeções horizontais de EP1 e EP2 e depois a fórmula da distância entre dois pontos num plano vertical.

Passo 2

Seja F1 o pé da primeira montanha e F2 o pé da segunda. No triângulo retângulo EF1P1 temos
EF1^2 + 900^2 = 1500^2
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EF1 = raiz1500^2 - 900^2 = raiz2250000 - 810000 = raiz1440000 = 1200 m

Passo 3

Do mesmo modo, no triângulo retângulo EF2P2 vale
EF2^2 + 2000^2 = 2900^2
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EF2 = raiz2900^2 - 2000^2 = raiz8410000 - 4000000 = raiz4410000 = 2100 m

Passo 4

Como E, F1 e F2 estão em linha reta, a distância horizontal entre os pés é
F1F2 = |EF2 - EF1| = |2100 - 1200| = 900 m
A diferença de altura entre os picos é
P1P2|vertical = |2000 - 900| = 1100 m

Passo 5

Agora, em um plano vertical contendo F1F2 e a direção vertical, a distância P1P2 é dada por
P1P2 = raiz(F1F2)^2 + l(P1P2|verticalr)^2 = raiz900^2 + 1100^2 = raiz810000 + 1210000 = raiz2020000 approx 1421,3 m

Resposta

A distância entre P1 e P2 é aproximadamente 1421,3 m.

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