Em um círculo de raio igual a 5 cm está inscrito um retângulo de área igual a 25 cm^2. Calcule o ângulo formado pelas diagonais desse retângulo.

Passo 1

O enunciado dá um círculo de raio 5 cm e um retângulo inscrito nele com área 25 cm^2. Precisamos achar o ângulo theta entre as diagonais desse retângulo. Vamos usar que todo retângulo é cíclico, que a diagonal vale o diâmetro do círculo, e depois calcular o ângulo entre vetores.

Passo 2

Sejam L e W os comprimentos dos lados do retângulo. Como ele está inscrito num círculo de raio R=5, a diagonal deve medir
2R = 10,
e pelo enunciado temos
L,W = 25,
L^2 + W^2 = 10^2 = 100

Passo 3

Calculemos primeiro
(L - W)^2 = L^2 + W^2 - 2LW = 100 - 50 = 50 Longrightarrow L - W = 5raiz2,
e
(L + W)^2 = L^2 + W^2 + 2LW = 100 + 50 = 150 Longrightarrow L + W = 5raiz6
Logo
L^2 - W^2 = (L - W)(L + W) = (5raiz2)(5raiz6) = 25raiz12 = 50raiz3

Passo 4

No centro do retângulo, as diagonais definem os vetores
(L/2,W/2) e (L/2,-W/2). O cosseno do ângulo theta entre eles é
costheta = (L/2)^2 - (W/2)^2 lVert(L/2,W/2)rVert,lVert(L/2,-W/2)rVert = L^2 - W^2L^2 + W^2 = 50raiz3100 = raiz32
Portanto,
theta = 30^circ

Resposta

30^circ

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