Uma circunferência que passa pelo vértice A de um paralelogramo ABCD intercepta a diagonal \mathrm{AC}=16 \mathrm{~cm} no ponto P e os lados \mathrm{AB}=12 \mathrm{~cm} \mathrm{e} \mathrm{AD}=8 \mathrm{~cm} nos pontos M e N , tais que \mathrm{AM}=10 cm e \mathrm{AN}=5 \mathrm{~cm}. Calcular a corda AP.

Passo 1

O enunciado dá um paralelogramo ABCD com |AB|=12, |AD|=8 e |AC|=16. Uma circunferência passando por A intercepta o lado AB em M com AM=10, o lado AD em N com AN=5 e a diagonal AC em P. Precisamos achar o comprimento da corda AP. Vamos usar geometria analítica: colocar A na origem, determinar a equação da circunferência por A,M,N e depois achar sua interseção com AC.

Passo 2

Pela lei dos cossenos em \triangle BAD, escrevemos para a diagonal AC:
|AC|^2 = |AB|^2 + |AD|^2 + 2\,|AB|\,|AD|\cos\theta,
onde \theta=\angle BAD. Substituindo |AB|=12, |AD|=8 e |AC|=16,
256 = 144 + 64 + 2\cdot12\cdot8\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad 192\cos\theta = 48 \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta = \tfrac14.

Passo 3

Escolhendo A=(0,0) e B=(12,0), o ponto D tem coordenadas
D = \bigl(8\cos\theta,\;8\sin\theta\bigr) = \Bigl(8\cdot\tfrac14,\;8\cdot\tfrac{\sqrt{15}}4\Bigr) = \bigl(2,2\sqrt{15}\bigr).
Como C=B+D, segue
C = (14,2\sqrt{15}).

Passo 4

Os pontos dados são
M = (10,0) \quad\text{(em \(AB\))}, \qquad N = \frac{5}{8}D = \Bigl(\tfrac54,\;\tfrac{5\sqrt{15}}4\Bigr) \quad\text{(em \(AD\)).}

Passo 5

A circunferência que passa por A(0,0), M e N tem equação geral
x^2 + y^2 + D\,x + E\,y = 0.
Em M=(10,0) surge
100 + 10D = 0 \quad\Longrightarrow\quad D = -10.
Em N=(\tfrac54,\tfrac{5\sqrt{15}}4) temos
\Bigl(\tfrac54\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{5\sqrt{15}}4\Bigr)^2 + D\cdot\tfrac54 + E\cdot\tfrac{5\sqrt{15}}4 = 0.
Como \tfrac{25}{16}+\tfrac{375}{16}=25 e D\cdot\tfrac54=-\tfrac{25}2, segue
25 - \tfrac{25}2 + \tfrac{5\sqrt{15}}4\,E = 0 \quad\Longrightarrow\quad E = -\frac{2\sqrt{15}}3.
Logo a circunferência é
x^2 + y^2 -10x - \tfrac{2\sqrt{15}}3\,y = 0.

Passo 6

Parametrizamos a diagonal AC por
(x,y) = t\,(14,2\sqrt{15}),\quad t\in\mathbb R.
Substituindo na equação da circunferência,
(14t)^2 + (2\sqrt{15}t)^2 -10(14t) - \tfrac{2\sqrt{15}}3\,(2\sqrt{15}t) = 0 \;\Longrightarrow\; 256t^2 -160t = 0.
Dessa equação, além de t=0 (ponto A), a outra solução é
t = \frac{160}{256} = \frac58.

Passo 7

Como t=\tfrac{AP}{AC}, obtemos
AP = t\,|AC| = \frac58 \cdot 16 = 10.

Resposta

AP = 10\text{ cm}.

Exercícios de Livros Relacionados