Uma circunferência que passa pelo vértice
de um paralelogramo ABCD intercepta a diagonal
no ponto P e os lados
nos pontos M e N , tais que
cm e
. Calcular a corda AP.
Passo 1
O enunciado dá um paralelogramo
com
,
e
. Uma circunferência passando por
intercepta o lado
em
com
, o lado
em
com
e a diagonal
em
. Precisamos achar o comprimento da corda
. Vamos usar geometria analítica: colocar
na origem, determinar a equação da circunferência por
e depois achar sua interseção com
.
Passo 2
Pela lei dos cossenos em
, escrevemos para a diagonal
:
onde
. Substituindo
,
e
,
Passo 3
Escolhendo
e
, o ponto
tem coordenadas
Como
, segue
Passo 4
Os pontos dados são
Passo 5
A circunferência que passa por
,
e
tem equação geral
Em
surge
Em
temos
Como
e
, segue
Logo a circunferência é
Passo 6
Parametrizamos a diagonal
por
Substituindo na equação da circunferência,
Dessa equação, além de
(ponto
), a outra solução é
Passo 7
Como
, obtemos