As diagonais AC e BD do quadrilátero ABCD intersectam-se em E . Sabendo-se que
e BC
:
a) demonstre que ABCD é inscritível;
b) determine o valor de AB .
a) demonstre que ABCD é inscritível;
b) determine o valor de AB .
Passo 1
Resumo do enunciado: no quadrilátero
as diagonais
e
se cruzam em
, com
,
,
,
e
.
Conteúdos necessários: teorema do produto das cordas para detectar quadriciclo inscrito, semelhança de triângulos formados pelos cruzamentos das diagonais em um quadrilátero cíclico e, em seguida, aplicação do teorema de Ptolomeu para determinar .
Conteúdos necessários: teorema do produto das cordas para detectar quadriciclo inscrito, semelhança de triângulos formados pelos cruzamentos das diagonais em um quadrilátero cíclico e, em seguida, aplicação do teorema de Ptolomeu para determinar
Passo 2
Usamos o teorema do produto das cordas (ou chords intersection theorem): em um quadrilátero inscrito, o produto dos segmentos de uma diagonal é igual ao produto dos segmentos da outra. Calculamos
Passo 3
Como
, segue-se o recíproco do teorema das cordas: os quatro vértices
são concíclicos. Logo,
é um quadrilátero inscrito.
Passo 4
Num quadrilátero inscrito, formam-se duas semelhanças de triângulos ao cruzar-se as diagonais:
e
.
Da primeira semelhança vem
Da primeira semelhança vem
Da segunda semelhança vem
Passo 5
Agora aplicamos o teorema de Ptolomeu em
:
Sabemos
,
,
,
e
. Então
Resposta
ABCD é um quadrilátero inscrito, e