As diagonais AC e BD do quadrilátero ABCD intersectam-se em E . Sabendo-se que \mathrm{AE}=2, \mathrm{BE} =5, \mathrm{CE}=10, \mathrm{DE}=4 e BC =15 / 2 :
a) demonstre que ABCD é inscritível;
b) determine o valor de AB .

Passo 1

Resumo do enunciado: no quadrilátero ABCD as diagonais AC e BD se cruzam em E, com
\mathrm{AE}=2, \mathrm{BE}=5, \mathrm{CE}=10, \mathrm{DE}=4 e BC=\tfrac{15}{2}.
Conteúdos necessários: teorema do produto das cordas para detectar quadriciclo inscrito, semelhança de triângulos formados pelos cruzamentos das diagonais em um quadrilátero cíclico e, em seguida, aplicação do teorema de Ptolomeu para determinar AB.

Passo 2

Usamos o teorema do produto das cordas (ou chords intersection theorem): em um quadrilátero inscrito, o produto dos segmentos de uma diagonal é igual ao produto dos segmentos da outra. Calculamos
\mathrm{AE}\cdot\mathrm{CE}=2\cdot10=20,
\mathrm{BE}\cdot\mathrm{DE}=5\cdot4=20.

Passo 3

Como \mathrm{AE}\cdot\mathrm{CE}=\mathrm{BE}\cdot\mathrm{DE}, segue-se o recíproco do teorema das cordas: os quatro vértices A,B,C,D são concíclicos. Logo, ABCD é um quadrilátero inscrito.

Passo 4

Num quadrilátero inscrito, formam-se duas semelhanças de triângulos ao cruzar-se as diagonais:
\triangle AEB\sim\triangle CED e \triangle AED\sim\triangle BEC.
Da primeira semelhança vem
\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} \quad\Longrightarrow\quad CD=5\,AB.
Da segunda semelhança vem
\frac{AD}{BC}=\frac{DE}{CE}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \quad\Longrightarrow\quad AD=\frac{2}{5}\,BC=\frac{2}{5}\cdot\frac{15}{2}=3.

Passo 5

Agora aplicamos o teorema de Ptolomeu em ABCD:
AB\cdot CD \;+\; BC\cdot AD \;=\; AC\cdot BD.
Sabemos CD=5AB, BC=\tfrac{15}{2}, AD=3, AC=AE+CE=12 e BD=BE+DE=9. Então
AB\cdot(5AB)+\frac{15}{2}\cdot3 =\;12\cdot9,
5\,AB^{2}+\frac{45}{2}=108 \quad\Longrightarrow\quad 5\,AB^{2}=\;108-\frac{45}{2}=\frac{216-45}{2}=\frac{171}{2},
AB^{2}=\frac{171}{10} \quad\Longrightarrow\quad AB=\sqrt{\frac{171}{10}}=\frac{3\sqrt{190}}{10}.

Resposta

ABCD é um quadrilátero inscrito, e
AB=\frac{3\sqrt{190}}{10}.

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