Mostre que existe a P.G. cujos três primeiros termos são 1raiz2, 12 e raiz24 e determine o limite da soma dos n primeiros termos, quando n infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que há uma progressão geométrica cujos três primeiros termos são
dfrac1raiz2,,dfrac12,,dfracraiz24,
e em seguida determinar
limntoinftySn,
onde Sn é a soma dos n primeiros termos.
Conteúdo: definição de PG e soma de uma PG infinita convergente.

Passo 2

Calculamos a razão comum q verificando que o quociente entre cada termo e seu anterior é constante:
q = tfrac12tfrac1raiz2 = 12cdotraiz2 = raiz22,
e também
tfracraiz24tfrac12 = raiz24cdot 2 = raiz22
Como os dois quocientes coincidem, de fato existe uma PG com a1=tfrac1raiz2 e q=tfracraiz22.

Passo 3

Sabemos que a soma dos n primeiros termos de uma PG é
Sn ;=; a1 ,1 - q^n1 - q
Como l|qr| = tfracraiz22 < 1, a parte q^n tende a zero quando ntoinfty. Logo a soma infinita converge para
limntoinftySn = a11 - q

Passo 4

Substituindo a1=tfrac1raiz2 e q=tfracraiz22, obtemos
limntoinftySn = tfrac1raiz21 - tfracraiz22 = tfrac1raiz2tfrac2-raiz22 = 2raiz2,(2-raiz2) = 22(raiz2-1) = 1raiz2-1
Racionalizando o denominador:
1raiz2-1;times;raiz2+1raiz2+1 = raiz2 + 1

Resposta


A razão da PG é q=tfracraiz22 e a soma dos termos converge, quando ntoinfty, a
boxedraiz2 + 1

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