Mostre que existe a P.G. cujos três primeiros termos são e e determine o limite da soma dos primeiros termos, quando .
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que há uma progressão geométrica cujos três primeiros termos são ,
e em seguida determinar ,
onde é a soma dos primeiros termos.
Conteúdo: definição de PG e soma de uma PG infinita convergente.
Passo 2
Calculamos a razão comum verificando que o quociente entre cada termo e seu anterior é constante:
e também
Como os dois quocientes coincidem, de fato existe uma PG com e .
Passo 3
Sabemos que a soma dos primeiros termos de uma PG é
Como , a parte q^n tende a zero quando ntoinfty. Logo a soma infinita converge para
limntoinftySn = a11 - q
Passo 4
Substituindo a1=tfrac1raiz2 e q=tfracraiz22, obtemos
A razão da PG é q=tfracraiz22 e a soma dos termos converge, quando ntoinfty, a
boxedraiz2 + 1
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 175