Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) As diagonais de um losango são congruentes.
b) As diagonais de um retângulo são perpendiculares.
c) As diagonais de um retângulo são bissetrizes dos seus ângulos.
d) As diagonais de um paralelogramo são bissetrizes dos seus ângulos.
e) As diagonais de um quadrado são bissetrizes de seus ângulos e são perpendiculares.
f) Se as diagonais de um quadrilátero são bissetrizes de seus ângulos, então ele é um losango.
g) Se as diagonais de um quadrilátero são perpendiculares, então elas são bissetrizes dos ângulos dele.
h) Se as diagonais de um quadrilátero são congruentes e perpendiculares, então ele é um quadrado.
i) Se as diagonais de um quadrilátero são bissetrizes e congruentes, então ele é um quadrado.
j) Se uma diagonal de um quadrilátero é bissetriz dos dois ângulos, então ela é perpendicular a outra diagonal.
a) As diagonais de um losango são congruentes.
b) As diagonais de um retângulo são perpendiculares.
c) As diagonais de um retângulo são bissetrizes dos seus ângulos.
d) As diagonais de um paralelogramo são bissetrizes dos seus ângulos.
e) As diagonais de um quadrado são bissetrizes de seus ângulos e são perpendiculares.
f) Se as diagonais de um quadrilátero são bissetrizes de seus ângulos, então ele é um losango.
g) Se as diagonais de um quadrilátero são perpendiculares, então elas são bissetrizes dos ângulos dele.
h) Se as diagonais de um quadrilátero são congruentes e perpendiculares, então ele é um quadrado.
i) Se as diagonais de um quadrilátero são bissetrizes e congruentes, então ele é um quadrado.
j) Se uma diagonal de um quadrilátero é bissetriz dos dois ângulos, então ela é perpendicular a outra diagonal.
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre propriedades das diagonais em quadriláteros notáveis (paralelogramo, retângulo, losango, quadrado) e em quadriláteros gerais. Vamos usar definições e resultados clássicos:
- Num paralelogramo, as diagonais se bissetam (mas não são necessariamente perpendiculares nem congruentes).
- Num retângulo, as diagonais são congruentes (mas não são necessárias bissetrizes dos ângulos nem perpendiculares).
- Num losango, as diagonais são perpendiculares e bissetrizes dos ângulos (mas não são congruentes, salvo no caso especial do quadrado).
- Num quadrado, todas essas propriedades se acumulam: diagonais congruentes, perpendiculares e bissetrizes dos ângulos.
Também usaremos resultados de conversas: - Se ambas as diagonais de um quadrilátero bissetam os ângulos, então é losango.
- Se uma diagonal bisseta os dois ângulos associados, então o quadrilátero é um kite e as diagonais são perpendiculares.
- Há quadriláteros não quadrados com diagonais congruentes e perpendiculares (ex.: trapézio isósceles ortodiagonal).
Passo 2
Analisando a) “As diagonais de um losango são congruentes.”
Num losango genérico, os lados são iguais, mas as diagonais têm comprimentos diferentes (uma corresponde à soma de dois triângulos isósceles distintos). Portanto esta afirmação é falsa.
Num losango genérico, os lados são iguais, mas as diagonais têm comprimentos diferentes (uma corresponde à soma de dois triângulos isósceles distintos). Portanto esta afirmação é falsa.
Passo 3
Analisando b) “As diagonais de um retângulo são perpendiculares.”
Num retângulo, as diagonais são congruentes e se cruzam no mesmo ponto, mas não há ângulo reto entre elas (salvo no caso especial do quadrado). Então esta afirmação é falsa.
Num retângulo, as diagonais são congruentes e se cruzam no mesmo ponto, mas não há ângulo reto entre elas (salvo no caso especial do quadrado). Então esta afirmação é falsa.
Passo 4
Analisando c) “As diagonais de um retângulo são bissetrizes dos seus ângulos.”
Num retângulo, cada ângulo interno é de , mas as diagonais não cortam esses ângulos ao meio (cada subângulo não fica com
). Logo é falsa.
Num retângulo, cada ângulo interno é de
Passo 5
Analisando d) “As diagonais de um paralelogramo são bissetrizes dos seus ângulos.”
Num paralelogramo geral, as diagonais se bissetam entre si mas não necessariamente bissetam os ângulos do vértice (isto acontece só em losango). Portanto é falsa.
Num paralelogramo geral, as diagonais se bissetam entre si mas não necessariamente bissetam os ângulos do vértice (isto acontece só em losango). Portanto é falsa.
Passo 6
Analisando e) “As diagonais de um quadrado são bissetrizes de seus ângulos e são perpendiculares.”
No quadrado, herda-se retângulo losango, ou seja, as diagonais são congruentes, perpendiculares e bissetrizes dos ângulos. Logo é verdadeira.
No quadrado, herda-se retângulo
Passo 7
Analisando f) “Se as diagonais de um quadrilátero são bissetrizes de seus ângulos, então ele é um losango.”
O único quadrilátero convexo cujas diagonais bissetam todos os seus ângulos é o losango. Portanto verdadeira.
O único quadrilátero convexo cujas diagonais bissetam todos os seus ângulos é o losango. Portanto verdadeira.
Passo 8
Analisando g) “Se as diagonais de um quadrilátero são perpendiculares, então elas são bissetrizes dos ângulos dele.”
Há muitos quadriláteros ortodiagonais (com diagonais perpendiculares) que não têm ângulos sendo bissetados (ex.: kite ou trapézio ortodiagonal em que só uma diagonal bisseta). Logo falsa.
Há muitos quadriláteros ortodiagonais (com diagonais perpendiculares) que não têm ângulos sendo bissetados (ex.: kite ou trapézio ortodiagonal em que só uma diagonal bisseta). Logo falsa.
Passo 9
Analisando h) “Se as diagonais de um quadrilátero são congruentes e perpendiculares, então ele é um quadrado.”
Diagonais congruentes indicam isosceles trapezoidais ou retangulares, diagonais perpendiculares indicam kites ou losangos. Há exemplos de trapézio isósceles cujas diagonais são perpendiculares e congruentes, sem ser quadrado. Logo falsa.
Diagonais congruentes indicam isosceles trapezoidais ou retangulares, diagonais perpendiculares indicam kites ou losangos. Há exemplos de trapézio isósceles cujas diagonais são perpendiculares e congruentes, sem ser quadrado. Logo falsa.
Passo 10
Analisando i) “Se as diagonais de um quadrilátero são bissetrizes e congruentes, então ele é um quadrado.”
Bissetando todos os ângulos faz dele um losango; diagonais congruentes num losango só ocorrem no caso especial do quadrado. Portanto verdadeira.
Bissetando todos os ângulos faz dele um losango; diagonais congruentes num losango só ocorrem no caso especial do quadrado. Portanto verdadeira.
Passo 11
Analisando j) “Se uma diagonal de um quadrilátero é bissetriz dos dois ângulos, então ela é perpendicular a outra diagonal.”
Um quadrilátero com uma diagonal que bisseta os dois ângulos adjacentes é um kite, e num kite as diagonais são ortogonais. Logo verdadeira.
Um quadrilátero com uma diagonal que bisseta os dois ângulos adjacentes é um kite, e num kite as diagonais são ortogonais. Logo verdadeira.
Resposta
a) F
b) F
c) F
d) F
e) V
f) V
g) F
h) F
i) V
j) V
b) F
c) F
d) F
e) V
f) V
g) F
h) F
i) V
j) V