Num paralelogramo traçamos sua diagonal . Pelos vértices B e D traçamos dois segmentos BP e DQ perpendiculares à diagonal AC, com P e Q pertencentes a AC. Prove que BP é congruente a DQ.
Passo 1
O enunciado diz que em um paralelogramo ABCD traçamos a diagonal AC e, pelos vértices B e D, os pés das alturas P e Q sobre essa diagonal, isto é, BPperpAC com Pin AC e DQperpAC com Qin AC.
Conteúdo: congruência de triângulos por SAS e propriedades de alturas em triângulos congruentes.
Passo 2
Considere os triângulos triang<= ABC e triang<= DCA.
Em todo paralelogramo, lados opostos são iguais, então
AB = CD
A diagonal AC é comum a ambos os triângulos, logo
AC = CA
Como ABparal<=l CD e AC é transversal, os ângulos formados são iguais:
ang<= BAC = ang<= DCA
Portanto, pelos critérios de congruência SAS (lado–ângulo–lado), temos
triang<= ABC cong triang<= DCA
Passo 3
Em triângulos congruentes, as alturas relativas a um mesmo lado são iguais. No nosso caso, BP é a altura de triang<= ABC relativa ao lado AC e DQ é a altura de triang<= DCA relativa ao mesmo lado AC. Logo
BP = DQ
Resposta
BP é congruente a DQ.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 270