Num paralelogramo A B C D traçamos sua diagonal A C. Pelos vértices B e D traçamos dois segmentos BP e DQ perpendiculares à diagonal AC, com P e Q pertencentes a AC. Prove que BP é congruente a DQ.

Passo 1

O enunciado diz que em um paralelogramo ABCD traçamos a diagonal AC e, pelos vértices B e D, os pés das alturas P e Q sobre essa diagonal, isto é, BPperpAC com Pin AC e DQperpAC com Qin AC.
Conteúdo: congruência de triângulos por SAS e propriedades de alturas em triângulos congruentes.

Passo 2

Considere os triângulos triang<= ABC e triang<= DCA.
  1. Em todo paralelogramo, lados opostos são iguais, então
AB = CD
  1. A diagonal AC é comum a ambos os triângulos, logo
AC = CA
  1. Como ABparal<=l CD e AC é transversal, os ângulos formados são iguais:
ang<= BAC = ang<= DCA
Portanto, pelos critérios de congruência SAS (lado–ângulo–lado), temos
triang<= ABC cong triang<= DCA

Passo 3

Em triângulos congruentes, as alturas relativas a um mesmo lado são iguais. No nosso caso, BP é a altura de triang<= ABC relativa ao lado AC e DQ é a altura de triang<= DCA relativa ao mesmo lado AC. Logo
BP = DQ

Resposta

BP é congruente a DQ.

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