Consideremos um quadrilátero convexo com dois ângulos opostos retos. Prove que as bissetrizes dos outros dois ângulos internos do quadrilátero são semirretas paralelas entre si.

Passo 1

Resumindo o que temos: seja ABCD um quadrilátero convexo em que
ang<= A = 90^circ e ang<= C = 90^circ. Queremos provar que a bissetriz interna de ang<= B e a bissetriz interna de ang<= D são semirretas paralelas.
Conteúdos que vamos usar: soma dos ângulos internos de um quadrilátero, o fato de lados adjacentes a ângulos retos serem perpendiculares, e o cálculo de ângulos (orientados) para mostrar paralelismo.

Passo 2

Denotemos
phi = ang<= ABC, psi = ang<= CDA
Como ang<= A+ang<= B+ang<= C+ang<= D=360^circ e ang<= A=ang<= C=90^circ, obtemos
phi + psi = 360^circ - (90^circ+90^circ) =180^circ

Passo 3

Chame de l a bissetriz interna de ang<= ABC. Então, por definição de bissetriz,
(BA,;l) ;=; (l,;BC) ;=;phi2
Chame de m a bissetriz interna de ang<= CDA. Analogamente,
(CD,;m) ;=; (m,;DA) ;=;psi2

Passo 4

Observe que em C temos BCperpCD, logo
(BC,;CD) =90^circ,
e em A temos DAperpAB, mas não precisaremos desse valor diretamente.
Para mostrar que lparal<=l m, basta ver que o ângulo orientado de l até m é congruente a 0^circ módulo 180^circ. Usamos a divisão em três trechos: de l a BC, de BC a CD e de CD a m. Assim,
(l,m) ;=; (l,BC) ;+; (BC,CD) ;+; (CD,m) ;=; phi2 ;+; 90^circ ;+; psi2

Passo 5

Como phi+psi=180^circ, temos tfracphi2+tfracpsi2=90^circ. Portanto
(l,m) =90^circ + 90^circ =180^circ equiv 0^circpmod180^circ,
o que implica lparal<=l m.

Resposta

As semirretas que bissetam os ângulos B e D em ABCD são paralelas.

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