Consideremos um quadrilátero convexo com dois ângulos opostos retos. Prove que as bissetrizes dos outros dois ângulos internos do quadrilátero são semirretas paralelas entre si.
Passo 1
Resumindo o que temos: seja um quadrilátero convexo em que e . Queremos provar que a bissetriz interna de e a bissetriz interna de são semirretas paralelas.
Conteúdos que vamos usar: soma dos ângulos internos de um quadrilátero, o fato de lados adjacentes a ângulos retos serem perpendiculares, e o cálculo de ângulos (orientados) para mostrar paralelismo.
Passo 2
Denotemos
Como e , obtemos
Passo 3
Chame de a bissetriz interna de . Então, por definição de bissetriz,
Chame de m a bissetriz interna de ang<= CDA. Analogamente,
(CD,;m) ;=; (m,;DA) ;=;psi2
Passo 4
Observe que em C temos BCperpCD, logo
(BC,;CD) =90^circ,
e em A temos DAperpAB, mas não precisaremos desse valor diretamente.
Para mostrar que lparal<=l m, basta ver que o ângulo orientado de l até m é congruente a 0^circ módulo 180^circ. Usamos a divisão em três trechos: de l a BC, de BC a CD e de CD a m. Assim,