Qual é o coeficiente de x^8 no desenvolvimento de (1+x^2-x^3)^9 ?

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^8 em (1+x^2-x^3)^9. O conteúdo necessário é o teorema multinomial aplicado a um polinômio com três termos.

Passo 2

Segundo o teorema multinomial, se a=1, b=x^2 e c=-x^3, então
(1 + x^2 - x^3)^9 = sumi+j+k=9 9!i!,j!,k!,1^i,(x^2)^j,(-x^3)^k
Cada termo tem grau 2j+3k em x e coeficiente 9!i!,j!,k!(-1)^k.

Passo 3

Para obter x^8 precisamos de
2j + 3k = 8, i + j + k = 9,
com i,j,k>=0. As soluções inteiras não negativas de 2j+3k=8 são:
  • k=0, j=4 (logo i=9-4-0=5);
  • k=2, j=1 (logo i=9-1-2=6).

Passo 4

Calculamos o coeficiente em cada caso:
Para (i,j,k)=(5,4,0):
9!5!,4!,0!(-1)^0 = binom94 = 126
Para (i,j,k)=(6,1,2):
9!6!,1!,2!(-1)^2 = 9!6!,2! = 252

Passo 5

Somando as contribuições, o coeficiente total de x^8 é
126 + 252 = 378

Resposta

378

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