Qual o coeficiente do termo em x^2 y^3 z^2 no desenvolvimento de (x+y+z)^7 ?

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente do termo x^2 y^3 z^2 no desenvolvimento de (x+y+z)^7. Vamos usar o Teorema multinomial, que generaliza o binômio e dá o coeficiente de cada monômio pela divisão de fatoriais.

Passo 2

Segundo o Teorema multinomial,
(x+y+z)^7 = sumi+j+k=7 7!i!,j!,k!,x^i,y^j,z^k

Passo 3

Aqui queremos o termo com i=2, j=3 e k=2. Logo, o coeficiente procurado é
7!2!,3!,2!

Passo 4

Calculando os fatoriais:
7! = 5040, 2! = 2, 3! = 6, 2! = 2,
então
7!2!,3!,2! = 50402cdot6cdot2 = 504024 = 210

Resposta

210

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