(Colégio Naval-82) A diferença entre dois números naturais que têm para produto 2304 e para máximo divisor comum 12, é:
a) 180
b) 72
c) 0
d) 192
e) 168

Passo 1

O enunciado pede a diferença entre dois naturais a e b tais que gcd(a,b)=12 e acdot b=2304. Vamos usar o fato de que, se gcd(a,b)=d, então podemos escrever a=d,x, b=d,y com gcd(x,y)=1, e daí obter uma relação entre x e y.

Passo 2

Como gcd(a,b)=12, escrevemos
a = 12,x, b = 12,y, gcd(x,y)=1
Então
acdot b = (12,x)(12,y) = 144,x,y = 2304
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x,y = 2304144 = 16

Passo 3

Agora buscamos pares de divisores positivos de 16 que sejam coprimos:
(1,16),;(2,8),;(4,4),;(8,2),;(16,1)
Destes, apenas (1,16) e (16,1) satisfazem gcd(x,y)=1.

Passo 4

Para (x,y)=(1,16) temos (a,b)=(12cdot1,,12cdot16)=(12,192). No caso contrário, a troca só inverte a e b. A diferença é
|192 - 12| = 180

Resposta

180

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