(Colégio Naval-84) Se
\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}+\frac{x}{y z}+\frac{y}{x z}+\frac{z}{x y}=\frac{8}{3} \mathrm{ex}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=16,0 produto x, y, z é:
(A) 192
(B) 48
(C) 32
(D) 108

Passo 1

O enunciado nos dá duas condições sobre x,y,z:
\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=8
e
x+y+z=16.
O que precisamos encontrar é o produto xyz. Para isso, vamos usar as somas simétricas
\displaystyle S_1=x+y+z,\;S_2=xy+yz+zx,\;P=xyz.

Passo 2

Observamos que
\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z} =2\Bigl(\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{y}+\tfrac{1}{z}\Bigr) =2\,\frac{xy+yz+zx}{xyz} =2\,\frac{S_2}{P},
e também
\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy} =\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz} =\frac{S_1^2-2S_2}{P}.
Logo, a soma dada vira
2\,\frac{S_2}{P}+\frac{S_1^2-2S_2}{P} =\frac{2S_2+S_1^2-2S_2}{P} =\frac{S_1^2}{P}.

Passo 3

Como S_1=x+y+z=16, temos S_1^2=256. A equação original passa a ser
\frac{256}{P}=8 \quad\Longrightarrow\quad P=xyz=\frac{256}{8}=32.

Resposta

32 (alternativa C)

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