(Colégio Naval-98) Um hexágono regular A B C D E F tem lado 3 cm . Considere os pontos: M, pertencente a A B, tal que M B igual a 1 cm ;
Capitulos. Polligonos
N, pertencente a C D, tal que N D igual a 1 cm ; e P, pertencente a E F, tal que P F igual a 1 \mathrm{~cm} . \mathrm{O} perimetro, em centimetros, do triangulo MNP é igual a;

Passo 1

O enunciado descreve um hexágono regular A B C D E F de lado 3 cm e pede o perímetro do triângulo MNP, em que:
M está em AB com MB=1 cm (logo AM=2 cm).
N está em CD com ND=1 cm (logo CN=2 cm).
P está em EF com PF=1 cm (logo EP=2 cm).
Conteúdos usados: coordenadas no plano, divisão de segmento em razão e fórmula da distância entre pontos.

Passo 2

Colocamos o hexágono num sistema de coordenadas com centro na origem e raio igual a 3. Escolhendo
A=(3,0),\quad B=\bigl(1{,}5,\tfrac{3\sqrt3}{2}\bigr),\quad C=\bigl(-1{,}5,\tfrac{3\sqrt3}{2}\bigr),
D=(-3,0),\quad E=\bigl(-1{,}5,-\tfrac{3\sqrt3}{2}\bigr),\quad F=\bigl(1{,}5,-\tfrac{3\sqrt3}{2}\bigr).

Passo 3

Usamos a fórmula do ponto que divide o segmento em razão:
– Em AB, MB:MA=1:2
M = B + \tfrac{2}{3}(A-B) =\bigl(2{,}5,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).
– Em CD, ND:NC=1:2
N = D + \tfrac{1}{3}(C-D) =\bigl(-2{,}5,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).
– Em EF, PF:PE=1:2
P = F + \tfrac{1}{3}(E-F) =\bigl(0{,}5,-\tfrac{3\sqrt3}{2}\bigr).

Passo 4

Calculamos as distâncias pelo fórmula
d(X,Y)=\sqrt{(x_X-x_Y)^2+(y_X-y_Y)^2}.
MN: as ordenadas coincidem, e de x_M-x_N=2{,}5-(-2{,}5)=5, logo
MN=5.
MP: diferença em x é -2 e em y é -2\sqrt3, então
MP=\sqrt{(-2)^2+(-2\sqrt3)^2} =\sqrt{4+12}=4.
NP: diferença em x é 3 e em y é 2\sqrt3, então
NP=\sqrt{3^2+(2\sqrt3)^2} =\sqrt{9+12}=\sqrt{21}.

Passo 5

O perímetro de MNP é
MN + MP + NP = 5 + 4 + \sqrt{21} = 9 + \sqrt{21}.

Resposta

9 + \sqrt{21} cm

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