(Colégio Naval-83) Um terreno deve ser dividido em lotes iguais por certo número de herdeiros. Se houvessem três herdeiros a mais, cada lote diminuiria de 20 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{e}, se houvessem cada loce deiros a menos, cada lote auments
50 \mathrm{~m}^{2}. O número de metros quadrados da área do terreno todo é:
a) 1600
b) 1400
c) 1200
d) 1100

Passo 1

O enunciado fala de um terreno com área total A que será dividido em n lotes iguais (um lote para cada herdeiro), de modo que cada lote tem área \tfrac{A}{n}. Se houvesse mudança no número de herdeiros, a área de cada lote mudaria. Nosso objetivo é montar duas equações, a partir das duas condições dadas, e resolver para n e A.

Passo 2

“Se houvessem três herdeiros a mais, cada lote diminuiria de 20,m ^2.”
Nesse caso o número de herdeiros seria n+3 e cada lote passaria a medir \tfrac{A}{n+3}. Como isso deve dar \tfrac{A}{n}-20, escrevemos
\frac{A}{n+3} \;=\;\frac{A}{n}-20.
Multiplicando em cruz e reorganizando, chega-se a
A = \frac{20}{3}\,n^{2} + 20\,n.

Passo 3

“Se houvessem quatro herdeiros a menos, cada lote aumentaria de 50,m ^2.”
Agora o número de herdeiros é n-4 e cada lote mede \tfrac{A}{n-4}, que deve ser \tfrac{A}{n}+50. Logo,
\frac{A}{n-4} \;=\;\frac{A}{n}+50.
Fazendo álgebra análoga obtemos
A = \frac{25\,n^{2} - 100\,n}{2}.

Passo 4

Igualamos as duas expressões para A:
\frac{20}{3}n^{2} + 20n = \frac{25n^{2} - 100n}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 6 e simplificando:
40n^{2} + 120n = 75n^{2} -300n \quad\Longrightarrow\quad 35n(n-12)=0 \quad\Longrightarrow\quad n=12.
Substituindo n=12 em A=\tfrac{20}{3}n^{2}+20n:
A = \frac{20}{3}\cdot144 + 240 = 960 + 240 = 1200.

Resposta

1200

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