Seja c o número complexo x+i y, representado por urn ponto no sistema de coordenadas cartesianas. Desenhar as curvas
|c^2-1|=k.

Passo 1

O enunciado pede as curvas no plano complexo dadas por lvert c^2-1rvert=k, onde c=x+iy. O conteúdo envolve geometria de números complexos e reconhecimento de curvas de nível de funções polinomiais.

Passo 2

Observamos que
c^2-1=(c-1)(c+1),
portanto
lvert c^2-1rvert=lvert c-1rvert;lvert c+1rvert
Isto significa que o ponto (x,y) satisfaz que o produto das distâncias até (1,0) e (-1,0) é k.

Passo 3

Em coordenadas cartesianas temos
lvert c-1rvert^2=(x-1)^2+y^2, lvert c+1rvert^2=(x+1)^2+y^2,
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l((x-1)^2+y^2r)l((x+1)^2+y^2r)=k^2
Expandindo, chega-se à forma
(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)+1=k^2,
uma curva quártica no plano.

Passo 4

Essa família de curvas é conhecida como ovais de Cassini, com focos em (1,0) e (-1,0). A geometria muda conforme o valor de k em relação à distância entre os focos, que é 2.

Passo 5

Para 0<k<1 a curva tem duas componentes fechadas, cada uma em volta de um foco. Para k=1 obtém-se a lemniscata de Bernoulli. Para k>1 aparece um único laço que envolve ambos os focos. No caso k=0 a curva degenera exatamente nos pontos (1,0) e (-1,0).

Resposta

As curvas lvert c^2-1rvert=k são ovais de Cassini com focos em (1,0) e (-1,0).
Para 0<k<1: dois laços separados em volta dos focos.
Para k=1: lemniscata de Bernoulli.
Para k>1: um único laço englobando ambos os focos.
Para k=0: degeneração nos pontos (pm1,0).

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