Seja o número complexo , representado por urn ponto no sistema de coordenadas cartesianas. Desenhar as curvas .
Passo 1
O enunciado pede as curvas no plano complexo dadas por lvert c^2-1rvert=k, onde c=x+iy. O conteúdo envolve geometria de números complexos e reconhecimento de curvas de nível de funções polinomiais.
Passo 2
Observamos que
c^2-1=(c-1)(c+1),
portanto
lvert c^2-1rvert=lvert c-1rvert;lvert c+1rvert
Isto significa que o ponto (x,y) satisfaz que o produto das distâncias até (1,0) e (-1,0) é k.
Essa família de curvas é conhecida como ovais de Cassini, com focos em (1,0) e (-1,0). A geometria muda conforme o valor de k em relação à distância entre os focos, que é 2.
Passo 5
Para 0<k<1 a curva tem duas componentes fechadas, cada uma em volta de um foco. Para k=1 obtém-se a lemniscata de Bernoulli. Para k>1 aparece um único laço que envolve ambos os focos. No caso k=0 a curva degenera exatamente nos pontos (1,0) e (-1,0).
Resposta
As curvas lvert c^2-1rvert=k são ovais de Cassini com focos em (1,0) e (-1,0).
Para 0<k<1: dois laços separados em volta dos focos.
Para k=1: lemniscata de Bernoulli.
Para k>1: um único laço englobando ambos os focos.
Para k=0: degeneração nos pontos (pm1,0).
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo Exemplos Diversos.Exemplos Diversos - Ex. 47.c