A função
f(x)=2 sen 3 x+10 cos 5 x
possui algum zero real P

Passo 1

O enunciado diz que
f(x)=2sin(3x)+10cos(5x)
e pergunta se existe algum zero real P. O conteúdo usado será continuidade de funções elementares e o Teorema do Valor Intermediário (ou Bolzano).

Passo 2

Observamos que sin(3x) e cos(5x) são funções contínuas em R. Como soma e múltiplo escalar de funções contínuas também é contínuo, concluímos que f(x) é contínua em todo R.

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, basta encontrar dois pontos onde f assuma sinais opostos. Calculemos:
f(0)=2sin(0)+10cos(0)=0+10cdot1=10>0,
f!l(tfracpi2r) =2sinl(tfrac3pi2r)+10cosl(tfrac5pi2r) =2cdot(-1)+10cdot0=-2<0

Passo 4

Como f é contínua em [0,pi/2] e f(0)>0, f(pi/2)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um ponto
Pinl(0,tfracpi2r)
tal que
f(P)=0

Passo 5

Opcionalmente, podemos aproximar P por método numérico (por exemplo, bisseção). Fazendo isso, obtém-se
Papprox0,35 rad

Resposta

Sim. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe Pinl(0,tfracpi2r) tal que
f(P)=0,
por exemplo Papprox0,35.

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