CONCENTRAÇÃO DE UM MEDICAMENTO Um paciente recebe uma injeção de um medicamento ao meio-dia, e amostras de sangue são colhidas a intervalos regulares para determinar a concentração do medicamento no sangue do paciente. Observa-se que a concentração aumenta a uma taxa crescente até as 13 horas e continua a aumentar durante as 3 horas seguintes, mas a uma taxa decrescente, até atingir o valor máximo às 16 horas. Em seguida, a concentração diminui a uma taxa decrescente até as 17 horas e depois diminui a uma taxa crescente até zero. Faça um esboço da curva da concentração do remédio, C(t), em função do tempo.

Passo 1

O enunciado pede um esboço qualitativo de C(t), a concentração do remédio em função do tempo t. Vamos usar conceitos de derivada e concavidade: a taxa de variação C'(t) e se essa taxa está crescendo (concavidade positiva) ou decrescendo (concavidade negativa). Pontos importantes são: t=12\,\mathrm{h} (injeção, C=0), t=13\,\mathrm{h} (inflexão de concavidade), t=16\,\mathrm{h} (máximo, C'(t)=0), t=17\,\mathrm{h} (segunda inflexão), e o decaimento até zero.

Passo 2

De t=12\,\mathrm{h} a t=13\,\mathrm{h}:
– A concentração aumenta com taxa crescente, ou seja, C'(t)>0 e C''(t)>0.
– Isso gera um trecho crescente e côncavo para cima (concavidade positiva).
Em t=13\,\mathrm{h} ocorre um ponto de inflexão, pois a concavidade muda.

Passo 3

De t=13\,\mathrm{h} a t=16\,\mathrm{h}:
– A concentração continua aumentando, mas agora com taxa decrescente: C'(t)>0 e C''(t)<0.
– O gráfico é crescente e côncavo para baixo (concavidade negativa).
Em t=16\,\mathrm{h} atinge-se o valor máximo, com C'(16)=0.

Passo 4

De t=16\,\mathrm{h} a t=17\,\mathrm{h}:
– A concentração diminui com taxa decrescente de magnitude, isto é, C'(t)<0 mas C''(t)>0 (derivada negativa e crescente).
– O gráfico é decrescente e côncavo para cima.
Em t=17\,\mathrm{h} há novo ponto de inflexão.

Passo 5

De t=17\,\mathrm{h} em diante:
– A concentração continua caindo, agora com taxa de queda crescente em magnitude: C'(t)<0 e C''(t)<0.
– Gráfico decrescente e côncavo para baixo, tendendo a zero conforme t\to\infty.

Resposta

Um esboço qualitativo de C(t) versus t é:
C(t)
  \uparrow                 \(\bullet\)
  |               .' '      <- máximo em t\(=16\)h
  |             .'   '   
  |           .'      '     
  |         .'         '   
  |        /            '  
  |       /              ' 
  |      /               |
  |     /                |
  |    /                 |
  |   /                  |
  |  /                   |
  | /                    \(\bullet\)  <- inflexão em t\(=13\)h
  |/                    /
  |                   /
  |                  / 
  |                 /
  |                /
  |_______________/________________\(\to\) t
     \(12\,13\,16\,17\)
Legenda:
  • De 12 h a 13 h: crescente e côncavo para cima.
  • Em 13 h: inflexão.
  • Até 16 h: crescente e côncavo para baixo, máximo em 16 h.
  • 16 h– 17 h: decrescente e côncavo para cima, inflexão em 17 h.
  • Após 17 h: decrescente e côncavo para baixo, tendendo a zero.

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