CONCENTRAÇÃO DE UM MEDICAMENTO Um paciente recebe uma injeção de um medicamento ao meio-dia, e amostras de sangue são colhidas a intervalos regulares para determinar a concentração do medicamento no sangue do paciente. Observa-se que a concentração aumenta a uma taxa crescente até as 13 horas e continua a aumentar durante as 3 horas seguintes, mas a uma taxa decrescente, até atingir o valor máximo às 16 horas. Em seguida, a concentração diminui a uma taxa decrescente até as 17 horas e depois diminui a uma taxa crescente até zero. Faça um esboço da curva da concentração do remédio,
, em função do tempo.
Passo 1
O enunciado pede um esboço qualitativo de
, a concentração do remédio em função do tempo
. Vamos usar conceitos de derivada e concavidade: a taxa de variação
e se essa taxa está crescendo (concavidade positiva) ou decrescendo (concavidade negativa). Pontos importantes são:
(injeção,
),
(inflexão de concavidade),
(máximo,
),
(segunda inflexão), e o decaimento até zero.
Passo 2
De
a
:
– A concentração aumenta com taxa crescente, ou seja, e
.
– Isso gera um trecho crescente e côncavo para cima (concavidade positiva).
Em ocorre um ponto de inflexão, pois a concavidade muda.
– A concentração aumenta com taxa crescente, ou seja,
– Isso gera um trecho crescente e côncavo para cima (concavidade positiva).
Em
Passo 3
De
a
:
– A concentração continua aumentando, mas agora com taxa decrescente: e
.
– O gráfico é crescente e côncavo para baixo (concavidade negativa).
Em atinge-se o valor máximo, com
.
– A concentração continua aumentando, mas agora com taxa decrescente:
– O gráfico é crescente e côncavo para baixo (concavidade negativa).
Em
Passo 4
De
a
:
– A concentração diminui com taxa decrescente de magnitude, isto é, mas
(derivada negativa e crescente).
– O gráfico é decrescente e côncavo para cima.
Em há novo ponto de inflexão.
– A concentração diminui com taxa decrescente de magnitude, isto é,
– O gráfico é decrescente e côncavo para cima.
Em
Passo 5
De
em diante:
– A concentração continua caindo, agora com taxa de queda crescente em magnitude: e
.
– Gráfico decrescente e côncavo para baixo, tendendo a zero conforme .
– A concentração continua caindo, agora com taxa de queda crescente em magnitude:
– Gráfico decrescente e côncavo para baixo, tendendo a zero conforme
Resposta
Um esboço qualitativo de
versus
é:
C(t)
\uparrow \(\bullet\)
| .' ' <- máximo em t\(=16\)h
| .' '
| .' '
| .' '
| / '
| / '
| / |
| / |
| / |
| / |
| / |
| / \(\bullet\) <- inflexão em t\(=13\)h
|/ /
| /
| /
| /
| /
|_______________/________________\(\to\) t
\(12\,13\,16\,17\)
Legenda:
- De
h a h: crescente e côncavo para cima. - Em
h: inflexão. - Até
h: crescente e côncavo para baixo, máximo em h. -
h– h: decrescente e côncavo para cima, inflexão em h. - Após
h: decrescente e côncavo para baixo, tendendo a zero.