PUBLICIDADE Um fabricante de motocicletas estima que, se investir x milhares de reais em publicidade, o número de motocicletas vendidas (para x>1 ) será dado por
M(x)=2.300+\frac{125}{x}-\frac{500}{x^{2}}
a. Plote a função vendas M(x).
b. Qual é o valor do investimento para o qual o número de motocicletas vendidas é máximo? Qual é o número máximo de motocicletas vendidas?

Passo 1

O enunciado fornece a função de vendas, em número de motocicletas, em função do investimento x (em milhares de reais), para x>1:
M(x)=2300+\frac{125}{x}-\frac{500}{x^{2}}.
Queremos:
1. Esboçar (plotar) o gráfico de M(x).
2. Encontrar o valor de x que maximiza M(x) e esse valor máximo de vendas.
Para isso, vamos usar uma tabela de valores para o esboço e cálculo de derivada para otimização.

Passo 2

Para esboçar o gráfico, avaliamos M(x) em alguns pontos representativos de x>1:
Para x=1:
M(1)=2300+\frac{125}{1}-\frac{500}{1^{2}}=1925.
Para x=2:
M(2)=2300+\frac{125}{2}-\frac{500}{2^{2}}=2300+62{,}5-125=2237{,}5.
Para x=4:
M(4)=2300+\frac{125}{4}-\frac{500}{4^{2}}=2300+31{,}25-31{,}25=2300.
Para x=8:
M(8)=2300+\frac{125}{8}-\frac{500}{8^{2}} =2300+15{,}625-7{,}8125\approx2307{,}8125.
Para x=16:
M(16)=2300+\frac{125}{16}-\frac{500}{16^{2}} \approx2300+7{,}8125-1{,}953125\approx2305{,}8594.
Com esses pontos vemos que M(x) começa em 1925 em x=1, cresce até perto de x=8 e depois decresce, aproximando-se de 2300 quando x\to\infty. O esboço é uma curva suave com máximo em torno de x=8.

Passo 3

Para otimizar, calculamos a derivada de M(x):
M'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(2300\Bigr) +\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{125}{x}\Bigr) -\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{500}{x^{2}}\Bigr) =-\frac{125}{x^{2}}+\frac{1000}{x^{3}} =\frac{1000-125x}{x^{3}}.

Passo 4

O ponto crítico satisfaz M'(x)=0, logo
1000-125x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=8.
Como para 1<x<8, 1000-125x>0 (logo M'>0) e para x>8, 1000-125x<0 (logo M'<0), esse ponto é de máximo.

Passo 5

O número máximo de vendas ocorre em x=8 (isto é, investimento de R$ 8000). O valor máximo é
M(8)=2300+\frac{125}{8}-\frac{500}{8^{2}} \approx2307{,}8125.

Resposta

– Esboço: curva que parte de M(1)=1925, cresce até x\approx8, onde atinge o pico, e depois decresce, aproximando-se de 2300 conforme x\to\infty.
– Investimento ótimo: x=8 (milhares de reais).
– Vendas máximas: aproximadamente 2307{,}8 motocicletas.

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