PUBLICIDADE Um fabricante de motocicletas estima que, se investir
milhares de reais em publicidade, o número de motocicletas vendidas (para
) será dado por
a. Plote a função vendas
.
b. Qual é o valor do investimento para o qual o número de motocicletas vendidas é máximo? Qual é o número máximo de motocicletas vendidas?
b. Qual é o valor do investimento para o qual o número de motocicletas vendidas é máximo? Qual é o número máximo de motocicletas vendidas?
Passo 1
O enunciado fornece a função de vendas, em número de motocicletas, em função do investimento
(em milhares de reais), para
:
Queremos:
. Esboçar (plotar) o gráfico de
.
. Encontrar o valor de
que maximiza
e esse valor máximo de vendas.
Para isso, vamos usar uma tabela de valores para o esboço e cálculo de derivada para otimização.
Para isso, vamos usar uma tabela de valores para o esboço e cálculo de derivada para otimização.
Passo 2
Para esboçar o gráfico, avaliamos
em alguns pontos representativos de
:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Com esses pontos vemos que
começa em
em
, cresce até perto de
e depois decresce, aproximando-se de
quando
. O esboço é uma curva suave com máximo em torno de
.
Passo 3
Para otimizar, calculamos a derivada de
:
Passo 4
O ponto crítico satisfaz
, logo
Como para
,
(logo
) e para
,
(logo
), esse ponto é de máximo.
Passo 5
O número máximo de vendas ocorre em
(isto é, investimento de R$
). O valor máximo é
Resposta
– Esboço: curva que parte de
, cresce até
, onde atinge o pico, e depois decresce, aproximando-se de
conforme
.
– Investimento ótimo: (milhares de reais).
– Vendas máximas: aproximadamente motocicletas.
– Investimento ótimo:
– Vendas máximas: aproximadamente