Qual o termo em x^3 no desenvolvimento de (raizx-a^2x)^15 ?

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente e o termo que contenha x^3 na expansão de
l(raizx-tfraca^2xr)^15
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Binômio aplicado a potências de x.

Passo 2

Reescrevemos a base em potências de x:
raizx=x^tfrac12, a^2x=a^2,x^-1
Então a expansão geral é
l(x^tfrac12-a^2,x^-1r)^15 =sumk=0^15binom15kl(x^tfrac12r)^15-kl(-a^2,x^-1r)^k

Passo 3

Em cada termo com índice k a potência de x vale
x^tfrac15-k2cdot x^-k =x^15-k-2k2 =x^15-3k2
Queremos tfrac15-3k2=3. Isso dá
15-3k=6 Longrightarrow 3k=9 Longrightarrow k=3

Passo 4

Para k=3, o coeficiente numérico é
binom153,(-1)^3,a^2cdot 3 = binom153,(-1),a^6 = -!455,a^6
E a potência de x é x^3, conforme desejado.

Resposta

boxed-455,a^6,x^3

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