A que condições devem obedecer as diagonais de um quadrilátero convexo para que os pontos médios de seus lados sejam vértices de um losango? E de um retângulo?

Passo 1

Temos um quadrilátero convexo ABCD. Chamamos de E, F, G e H os pontos médios de AB, BC, CD e DA, respectivamente. Pelo Teorema de Varignon, EFGH é sempre um paralelogramo. Para resolver, precisamos usar geometria vetorial básica: expressar os lados de EFGH em função das diagonais AC e BD de ABCD.

Passo 2

Em coordenadas vetoriais, escrevemos
E=A+B2, F=B+C2, G=C+D2, H=D+A2
Então
EF=F-E =C-A2 =12,AC,
FG=G-F =D-B2 =12,BD

Passo 3

Para EFGH ser um losango, seus lados adjacentes devem ter o mesmo comprimento:
|EF|=|FG| ;Longrightarrow; 12|AC|=12|BD| ;Longrightarrow; |AC|=|BD|
Logo, os pontos médios formam um losango se e somente se as diagonais de ABCD tiverem comprimentos iguais.

Passo 4

Para EFGH ser um retângulo, lados adjacentes devem ser perpendiculares:
EFcdotFG=0 ;Longrightarrow; 12ACcdot12BD=0 ;Longrightarrow; ACperpBD
Portanto, os pontos médios formam um retângulo se e somente se as diagonais de ABCD forem perpendiculares entre si.

Resposta

Para que os pontos médios de ABCD formem um losango, é preciso que
|AC|=|BD|
Para que formem um retângulo, é preciso que
ACperpBD

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