A que condições devem obedecer as diagonais de um quadrilátero convexo para que os pontos médios de seus lados sejam vértices de um losango? E de um retângulo?
Passo 1
Temos um quadrilátero convexo . Chamamos de , , e os pontos médios de , , e , respectivamente. Pelo Teorema de Varignon, é sempre um paralelogramo. Para resolver, precisamos usar geometria vetorial básica: expressar os lados de em função das diagonais e BD de ABCD.
Passo 2
Em coordenadas vetoriais, escrevemos
E=A+B2, F=B+C2, G=C+D2, H=D+A2
Então
EF=F-E =C-A2 =12,AC,
FG=G-F =D-B2 =12,BD
Passo 3
Para EFGH ser um losango, seus lados adjacentes devem ter o mesmo comprimento: