Pelo ponto médio da base de um triângulo isósceles A B C traçamos os segmentos MP e MQ respectivamente paralelos aos lados AB e AC do triângulo. Prove que APMQ é um losango.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo. Temos um triângulo isósceles ABC com AB = AC. Seja M o ponto médio de BC. Traçamos MPparal<=l AB cortando AC em P e MQparal<=l AC cortando AB em Q. Queremos provar que o quadrilátero APMQ é um losango, ou seja, um paralelogramo com todos os lados de mesma medida.
Passo 2
Mostramos que APMQ é um paralelogramo. Note que
MP paral<=l AB e QA subset AB,
logo
MP paral<=l QA
De forma análoga,
MQ paral<=l AC e AP subset AC
implicam
MQ paral<=l AP
Portanto, APMQ tem pares de lados opostos paralelos, isto é, é um paralelogramo.
Passo 3
Aplicamos o Teorema da Transversal Paralela (teorema da linha média). Como M é o ponto médio de BC e MPparal<=l AB, segue-se que P é o ponto médio de AC. Logo
AP = PC = tfrac12,AC
De modo semelhante, como MQparal<=l AC, Q é o ponto médio de AB, e portanto
AQ = QB = tfrac12,AB
Passo 4
Usamos a condição AB=AC (triângulo isósceles). Então
tfrac12,AB = tfrac12,AC Longrightarrow AQ = AP
Num paralelogramo, lados opostos são congruentes, de modo que
AP = MQ e PM = QA
Mas acabamos de ver que QA=A P. Logo
AP = PM = MQ = QA
Isto mostra que todos os lados do paralelogramo APMQ são iguais.
Resposta
O quadrilátero APMQ é um losango.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 271