A que condições devem obedecer as diagonais de um quadrilátero convexo para que os pontos médios de seus lados sejam vértices de um quadrado?
Passo 1
Temos um quadrilátero convexo . Se , , e são os pontos médios de , , e , respectivamente, vale o Teorema de Varignon: é um paralelogramo. Queremos que esse paralelogramo seja um quadrado.
Passo 2
Calculemos os vetores correspondentes a dois lados consecutivos de . Usando coordenadas vetoriais,
NP=D-B2
Ou seja, MN é paralelo e mede metade da diagonal AC, e NP é paralelo e mede metade da diagonal BD.
Passo 3
Para que o paralelogramo M N O P seja um quadrado, é necessário e suficiente que seus lados sejam todos congruentes e que dois lados adjacentes sejam perpendiculares. Portanto, precisamos
|MN|=l|NPr| e MNperpNP
Passo 4
Traduzindo em termos das diagonais de ABCD:
|MN|=tfrac12,|AC| e |NP|=tfrac12,|BD| . Igualando comprimentos: