A que condições devem obedecer as diagonais de um quadrilátero convexo para que os pontos médios de seus lados sejam vértices de um quadrado?

Passo 1

Temos um quadrilátero convexo ABCD. Se M, N, O e P são os pontos médios de AB, BC, CD e DA, respectivamente, vale o Teorema de Varignon: M N O P é um paralelogramo. Queremos que esse paralelogramo seja um quadrado.

Passo 2

Calculemos os vetores correspondentes a dois lados consecutivos de M N O P. Usando coordenadas vetoriais,
MN=C-A2,
NP=D-B2
Ou seja, MN é paralelo e mede metade da diagonal AC, e NP é paralelo e mede metade da diagonal BD.

Passo 3

Para que o paralelogramo M N O P seja um quadrado, é necessário e suficiente que seus lados sejam todos congruentes e que dois lados adjacentes sejam perpendiculares. Portanto, precisamos
|MN|=l|NPr| e MNperpNP

Passo 4

Traduzindo em termos das diagonais de ABCD:
  1. |MN|=tfrac12,|AC| e |NP|=tfrac12,|BD| . Igualando comprimentos:
tfrac12,|AC|=tfrac12,|BD| Longrightarrow |AC|=|BD|
  1. A perpendicularidade
MNperpNP Longrightarrow ACperpBD

Resposta

As diagonais devem ser congruentes e perpendiculares, isto é,
AC = BD e AC perp BD

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