Conhecidos os raios r e R das bases de um tronco de cone de bases paralelas, determine o raio de uma seção paralela às bases, tal que divida o tronco em duas partes cujos volumes estão na razão a : b.

Passo 1

O enunciado dá um tronco de cone de bases paralelas com raios inferiores R e superiores r (supondo R>r), e pede o raio rho de uma seção paralela às bases que divide o volume do tronco em duas partes cujos volumes estão na razão a:b.
Para resolver, vamos usar:
  1. A fórmula do volume de um tronco de cone
  2. Semelhança de triângulos para relacionar raios e alturas
  3. Extensão do tronco a um cone completo para simplificar o cálculo de volumes

Passo 2

Estendendo as geratrizes do tronco até encontrar o ápice, obtemos um cone completo de base maior raio R e altura z0, de onde se “cortou” um cone menor de base raio r e altura z0 - H, sobrando o tronco de altura H.
Pela semelhança de triângulos, para uma seção interna de raio rho medido a uma distância z1 da base maior temos
rho = R,z0 - z1z0,
e em particular
z0 - H = z0,rR, z0 - z1 = z0,rhoR

Passo 3

Chamando
Vrm full=pi R^2,z03, Vrm top(r)=pi r^2,(z0 - H)3, Vrm top(rho)=pi rho^2,(z0 - z1)3,
o volume total do tronco é
Vrm tronco =Vrm full-Vrm top(r) =pi z03l(R^2 - r^3Rr)
e o volume da parte inferior até a seção rho é
V1 =Vrm full-Vrm top(rho) =pi z03l(R^2 - rho^3Rr)
A parte superior (acima de rho) tem volume V2=Vrm tronco-V1=pi z03rho^3 - r^3R

Passo 4

Exigindo V1V2=ab, temos
R^2 - rho^3Rrho^3 - r^3R =ab ;Longrightarrow; R^3 - rho^3rho^3 - r^3=ab ;Longrightarrow; b,(R^3 - rho^3)=a,(rho^3 - r^3)

Passo 5

Da equação b,R^3 + a,r^3=(a+b),rho^3 segue
rho^3=b,R^3 + a,r^3a+b Longrightarrow rho =raiz[,3]b,R^3 + a,r^3a+b

Resposta

rho =raiz[,3]b,R^3 + a,r^3a+b

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