Conhecidos os raios
e R das bases de um tronco de cone de bases paralelas, determine o raio de uma seção paralela às bases, tal que divida o tronco em duas partes cujos volumes estão na razão
:
.
Passo 1
O enunciado dá um tronco de cone de bases paralelas com raios inferiores
e superiores
(supondo
), e pede o raio
de uma seção paralela às bases que divide o volume do tronco em duas partes cujos volumes estão na razão
.
Para resolver, vamos usar:
Para resolver, vamos usar:
- A fórmula do volume de um tronco de cone
- Semelhança de triângulos para relacionar raios e alturas
- Extensão do tronco a um cone completo para simplificar o cálculo de volumes
Passo 2
Estendendo as geratrizes do tronco até encontrar o ápice, obtemos um cone completo de base maior raio
e altura
, de onde se “cortou” um cone menor de base raio
e altura
, sobrando o tronco de altura
.
Pela semelhança de triângulos, para uma seção interna de raio medido a uma distância
da base maior temos
Pela semelhança de triângulos, para uma seção interna de raio
e em particular
Passo 3
Chamando
o volume total do tronco é
e o volume da parte inferior até a seção
é
A parte superior (acima de
) tem volume
Passo 4
Exigindo
, temos
Passo 5
Da equação
segue