Um plano paralelo à base de um cone secciona-o, determinando dois cones, C1 e C2. Sendo g e R , respectivamente, a geratriz e o raio da base de C1, determine a distância do vértice do cone C1 à base do cone menor C2, sabendo que a área lateral de C1 é igual à área total do cone menor C2.

Passo 1

O enunciado descreve um cone original C1 de geratriz g e raio da base R. Esse cone é seccionado por um plano paralelo à base, gerando um cone menor C2 (no topo) cuja “altura” – a distância do vértice de C1 até a base de C2 – chamaremos de x. Precisamos usar semelhança de triângulos e fórmulas de área de superfície de cone para achar x sabendo que
área lateral de C1 ;=;área total de C2 áá

Passo 2

Primeiro, calculamos a altura h do cone original C1 a partir de g e R. Como g é a geratriz e R o raio da base, pela relação pitagórica no triângulo geratriz-altura-raio:
h = raizg^2 - R^2

Passo 3

Pela semelhança dos cones (original e o menor), a razão de semelhança vale
k = xh
Logo, o raio da base de C2 é
r = k,R = xh,R,
e sua geratriz é
ell = k,g = xh,g

Passo 4

Escrevemos as áreas:
  • Área lateral de C1:
Alat,1 = pi,R,g
  • Área total de C2 (lateral + base):
Atot,2 = pi,r,ell ;+;pi,r^2 = pil(xhRr)l(xhgr) + pil(xhRr)^2
A condição é
pi,R,g ;=; pil(xhRcdotxhg + x^2h^2R^2r)

Passo 5

Cancelando pi e fatorando x^2/h^2:
R,g = x^2h^2,(R,g + R^2) Longrightarrow x^2 = R,g,h^2R,(g + R) = g,h^2g + R
Substituindo h^2=g^2-R^2:
x^2 = g,(g^2-R^2)g+R = g,(g-R) Longrightarrow x = raizg,(g-R)

Resposta

x = raizg,(g - R)

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