Um plano paralelo à base de um cone secciona-o, determinando dois cones,
e
. Sendo g e R , respectivamente, a geratriz e o raio da base de
, determine a distância do vértice do cone
à base do cone menor
, sabendo que a área lateral de
é igual à área total do cone menor
.
Passo 1
O enunciado descreve um cone original
de geratriz
e raio da base
. Esse cone é seccionado por um plano paralelo à base, gerando um cone menor
(no topo) cuja “altura” – a distância do vértice de
até a base de
– chamaremos de
. Precisamos usar semelhança de triângulos e fórmulas de área de superfície de cone para achar
sabendo que
Passo 2
Primeiro, calculamos a altura
do cone original
a partir de
e
. Como
é a geratriz e
o raio da base, pela relação pitagórica no triângulo geratriz-altura-raio:
Passo 3
Pela semelhança dos cones (original e o menor), a razão de semelhança vale
Logo, o raio da base de
é
e sua geratriz é
Passo 4
Escrevemos as áreas:
- Área lateral de
:
- Área total de
(lateral base):
A condição é
Passo 5
Cancelando
e fatorando
:
Substituindo
: