(UE-CE) O conjugado, barz, do número complexo z=x+i y, com x e y número reais, é definido por z=x-iy. Identificando o número complexo z=x+ iy com o ponto ( x, y ) no plano cartesiano, podemos afirmar corretamente que o conjunto dos números complexos z que satisfazem a relação zz +z+barz=0 estão sobre:
a) uma reta.
c) uma parábola.
b) uma circunferência.
d) uma elipse.

Passo 1

O enunciado trabalha com um número complexo z=x+iy e sua conjugada z=x-iy. Ele pede o lugar geométrico dos pontos (x,y) que satisfazem a equação
z,z + z + z = 0
Aqui usamos que z,z=|z|^2=x^2+y^2.

Passo 2

Substituímos na equação z,z+z+z=0 os valores em função de x e y:
x^2+y^2 + (x+iy) + (x-iy) = 0

Passo 3

Note que (x+iy)+(x-iy)=2x. Logo a equação torna-se
x^2+y^2 + 2x = 0

Passo 4

Para identificar a curva, completamos o quadrado em x:
x^2+2x+y^2 = (x+1)^2 -1 + y^2 = 0 Longrightarrow (x+1)^2 + y^2 = 1

Passo 5

A equação (x+1)^2 + y^2 = 1 é a de uma circunferência de centro (-1,0) e raio 1.

Resposta

b) uma circunferência.

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