(ITA-SP) Sejam alpha, beta in C tais que |alpha|=|beta|=1 e |alpha-beta|=raiz2. Então alpha^2+beta^2 é igual a:
a) -2
b) 0
c) 1
d) 2

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos alpha,beta com |alpha|=|beta|=1 e pede para achar alpha^2+beta^2 sabendo que a distância entre eles é |alpha-beta|=raiz2. O conteúdo aqui envolve geometria no círculo unitário e propriedades de módulo e argumento de números complexos.

Passo 2

Escrevemos o quadrado da distância usando o fato de |z|^2=zoverline z:
|alpha-beta|^2=(alpha-beta)(overlinealpha-overlinebeta) =|alpha|^2+|beta|^2- alphaoverlinebeta - overlinealphabeta
Como |alpha|=|beta|=1, isso vira
|alpha-beta|^2 = 2 - 2Rel(alphaoverlinebetar)
Mas |alpha-beta|^2=(raiz2)^2=2, logo
2 = 2 - 2Rel(alphaoverlinebetar) Longrightarrow Rel(alphaoverlinebetar)=0

Passo 3

Re(alphaoverlinebeta)=0 significa que alphaoverlinebeta é puramente imaginário de módulo 1, ou seja
alphaoverlinebeta = pm i
Isso equivale a dizer que, para algum theta, beta=alpha e^itheta com e^itheta=pm i, isto é, theta=pm tfracpi2.

Passo 4

Agora calculamos
alpha^2 + beta^2 = alpha^2 + (alpha e^itheta)^2 = alpha^2l(1 + e^2ithetar)
Como e^itheta=pm i, temos e^2itheta=e^pm ipi=-1. Portanto
1 + e^2itheta = 1 - 1 = 0 Longrightarrow alpha^2+beta^2 = 0

Resposta

b) 0

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