Dê o conjunto-verdade de 0 <= x-1x-2<14.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto-verdade da desigualdade
0 <= x-1x-2 < 14
O conteúdo envolve inequações racionais duplas: vamos precisar determinar o domínio da expressão, identificar os pontos críticos (zeros do numerador, zeros do denominador e valores que tornam a desigualdade “igual”), estudar o sinal em cada intervalo e, no fim, fazer a interseção dos resultados.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio de x-1x-2. O numerador zera em x=1 e o denominador zera em x=2, ponto em que a expressão é indefinida. Portanto os pontos críticos são
x=1e x=2,
e o domínio é Rsetminus2.

Passo 3

Resolvemos a parte
x-1x-2>=0
Analisando o sinal em cada intervalo determinado por 1 e 2:
  • Em x<1: numerador (x-1)<0, denominador (x-2)<0 Rightarrow quociente >0.
  • Em 1<x<2: numerador >0, denominador <0 Rightarrow quociente <0.
  • Em x>2: numerador >0, denominador >0 Rightarrow quociente >0.
    Incluindo o ponto x=1 (zero do numerador), a solução de x-1x-2>=0 é
(-infty,1];cup;(2,infty)

Passo 4

Agora resolvemos
x-1x-2<14
Passo 4.1 Subtraímos tfrac14 e unimos em um só quociente:
x-1x-2-14<0 Longrightarrow 4(x-1)-(x-2)4(x-2)<0 Longrightarrow 3x-24(x-2)<0
Como 4>0, basta estudar
3x-2x-2<0
com pontos críticos x=tfrac23 (zero do numerador) e x=2 (zero do denominador). Testando os intervalos:
  • Em x<tfrac23: numerador <0, denominador <0 Rightarrow quociente >0.
  • Em tfrac23<x<2: numerador >0, denominador <0 Rightarrow quociente <0.
  • Em x>2: numerador >0, denominador >0 Rightarrow quociente >0.
    Como a desigualdade é estrita, não incluímos x=tfrac23 nem x=2. Logo a solução é
l(tfrac23,2r)

Passo 5

Fazemos agora a interseção das soluções de cada parte com o domínio:
l((-infty,1]cup(2,infty)r);cap;l(tfrac23,2r) =l(tfrac23,1r]

Resposta

l(23,1r]

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