(UF-BA) Considerando-se a matriz , em que a e b são números reais, é correto afirmar:
(01) Existem a e b tais que M é a matriz nula de ordem 3.
(02) Se a=b=0, então existe uma única matriz N tal que M+N é a matriz identidade de ordem 3.
(04) Se a = b, então M é uma matriz simétrica.
(08) Se a=b, então o produto de M pela matriz (c0 cos a sen a) é a matriz (c1 sen a sen a).
Passo 1
O enunciado define a matriz
M = 0 & cos b & sin b cos a & tan a & 0 sin a & 0 & sin^2a + cos^2b
e apresenta quatro afirmações numeradas (01), (02), (04) e (08). Vamos testar cada uma.
Passo 2
Afirmação (01): “Existem a e b tais que M é a matriz nula.”
Para isso precisaríamos
cos b = 0 e sin b = 0,
mas não há binR que zere simultaneamente cos b e sin b. Logo, (01) é falsa.
Passo 3
Afirmação (02): “Se a=b=0, então existe uma única matriz N tal que M+N=I3.”
Para qualquer matriz M a equação M+N=I3 tem solução única
N = I3 - M
Portanto, (02) é verdadeira.
Passo 4
Afirmação (04): “Se a=b, então M é simétrica.”
Se a=b temos
M= 0 & cos a & sin a cos a & tan a & 0 sin a & 0 & 1 ,
pois sin^2a+cos^2a=1. Como os elementos fora da diagonal satisfazem Mij=Mji, M é simétrica. Logo, (04) é verdadeira.
Passo 5
Afirmação (08): “Se a=b, então
M0cos asin a =1sin asin a
Calculando para a=b:
M0cos asin a = cos acdotcos a+sin acdotsin a tan acdotcos a sin^2a+cos^2a = 1 sin a sin a
Portanto, (08) é verdadeira.
Resposta
As afirmações corretas são (02), (04) e (08). O valor resultante é
02 + 04 + 08 = 14
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 295