(ITA-SP) Considere a progressão aritmética (a1, a2, ldots, a50) de razão d. Se sumn=1^10 an=10+25 d e sumn=1^50 an=4550, então d-a1 é igual a:
a) 3
b) 6
c) 9
d) 11
e) 14

Passo 1

O enunciado dá uma progressão aritmética cujos termos são l(a1,a2,dots,a50r) e a razão é d. Precisamos usar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, que é
Sn = n2l(2a1 + (n-1)dr)
Sabemos que
sumn=1^10an=10+25d e sumn=1^50an=4550. O objetivo final é encontrar d - a1.

Passo 2

Aplicando a fórmula para n=10:
S10 = 102l(2a1 + 9dr) =5l(2a1 + 9dr) =10a1 + 45d
Como S10=10+25d, igualamos:
10a1 + 45d = 10 + 25d Longrightarrow 10a1 + 20d = 10 Longrightarrow a1 + 2d = 1

Passo 3

Agora para n=50:
S50 = 502l(2a1 + 49dr) =25l(2a1 + 49dr) =50a1 + 1225d
Como S50=4550, temos
50a1 + 1225d = 4550

Passo 4

Resolvendo o sistema
a1 + 2d = 1, 50a1 + 1225d = 4550,
da primeira equação tiramos a1=1-2d. Substituindo na segunda:
50(1-2d) + 1225d = 4550 ;Longrightarrow; 50 -100d +1225d =4550 ;Longrightarrow; 1125d =4500 ;Longrightarrow; d=4
Então a1=1-2cdot4= -7.

Passo 5

Finalmente,
d - a1 = 4 - (-7) = 11

Resposta

11

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