(UF-RN) Um fazendeiro dividiu 30 km^2 de suas terras entre seus 4 filhos, de idades distintas, de modo que as áreas dos terrenos recebidos pelos filhos estavam em progressão
geométrica, de acordo com a idade, tendo recebido mais quem era mais velho. Ao filho mais novo coube um terreno com 2 km^2 de área. O filho que tem idade imediatamente superior à do mais novo recebeu um terreno de área igual a:
a) 10 km^2
b) 8 km^2
c) 4 km^2
d) 6 km^2

Passo 1

O enunciado diz que as áreas dos terrenos de 4 filhos formam uma progressão geométrica (PG) em ordem de idade, a soma das áreas é 30,km^2 e o termo inicial (filho mais novo) é 2,km^2. Vamos usar a definição e a soma de termos de PG para encontrar a razão e o segundo termo.

Passo 2

Seja a o primeiro termo da PG e r a razão. Então as áreas são
a,;ar,;ar^2,;ar^3
e sabemos que a=2 e que
a + ar + ar^2 + ar^3 = 30

Passo 3

Usamos a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG:
Sn = a,r^n - 1r - 1
Para n=4 e a=2 isso dá
S4 = 2,r^4 - 1r - 1 = 30

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 2:
r^4 - 1r - 1 = 15
Como r^4 - 1 = (r-1)(r+1)(r^2+1), temos
(r+1)(r^2+1) = 15
Testando valores inteiros r>1, vemos que r=2 satisfaz
(2+1)(2^2+1)=3cdot5=15

Passo 5

Com r=2, o segundo termo da PG (filho de idade imediatamente superior ao mais novo) é
ar = 2 times 2 = 4,km^2

Resposta

c) 4,km^2

Exercícios de Livros Relacionados