(UF-PR) Considere a função f definida no conjunto dos números naturais pela expressão f(n+2)=f(n)+3, com n in N, e pelos dados f(0)=10 e f(1)=5. É correto afirmar que os valores de f(20) e f(41) são, respectivamente:
a) 21 e 65
b) 40 e 56
c) 21 e 42
d) 40 e 65
e) 23 e 44

Passo 1

O enunciado define uma recorrência de segunda ordem em N:
f(n+2)=f(n)+3
com condições iniciais f(0)=10 e f(1)=5.
Para resolver, vamos separar a sequência em termos de índices pares e ímpares e buscar a fórmula geral para cada um desses casos.

Passo 2

Caso n seja par, escreva n=2k. Aplicando a recorrência repetidas vezes para ímpares de passo 2, temos
f(2)=f(0)+3, f(4)=f(2)+3,ldots, f(2k)=f(2(k-1))+3
Isso implica, por iteração,
f(2k)=f(0)+3k = 10 + 3k

Passo 3

Caso n seja ímpar, escreva n=2k+1. De modo análogo,
f(3)=f(1)+3, f(5)=f(3)+3,ldots, f(2k+1)=f(2(k-1)+1)+3,
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f(2k+1)=f(1)+3k = 5 + 3k

Passo 4

Agora basta identificar k nos casos pedidos:
Para n=20, temos 20=2k com k=10, então
f(20)=10 + 3cdot10 = 40
Para n=41, temos 41=2k+1 com k=20, então
f(41)=5 + 3cdot20 = 65

Passo 5

Comparamos (f(20),f(41))=(40,65) com as alternativas e vemos que corresponde à letra (d).

Resposta

(d) 40 e 65

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