(UF-PR) Considere a função
definida no conjunto dos números naturais pela expressão
, com
, e pelos dados
e
. É correto afirmar que os valores de f(20) e f(41) são, respectivamente:
a) 21 e 65
b) 40 e 56
c) 21 e 42
d) 40 e 65
e) 23 e 44
a) 21 e 65
b) 40 e 56
c) 21 e 42
d) 40 e 65
e) 23 e 44
Passo 1
O enunciado define uma recorrência de segunda ordem em
:
com condições iniciais
e
.
Para resolver, vamos separar a sequência em termos de índices pares e ímpares e buscar a fórmula geral para cada um desses casos.
Para resolver, vamos separar a sequência em termos de índices pares e ímpares e buscar a fórmula geral para cada um desses casos.
Passo 2
Caso
seja par, escreva
. Aplicando a recorrência repetidas vezes para ímpares de passo 2, temos
Isso implica, por iteração,
Passo 3
Caso
seja ímpar, escreva
. De modo análogo,
logo
Passo 4
Agora basta identificar
nos casos pedidos:
Para , temos
com
, então
Para
Para
, temos
com
, então
Passo 5
Comparamos
com as alternativas e vemos que corresponde à letra (d).
Resposta
(d) 40 e 65