(UF-PR) Considere a função f definida pela expressão f(x)=det[lllcos (2 x) & sen x & 0 cos x & 12 & 0 1 & 0 & 2]
a) Calcule f(0) e f(pi4).
a) Calcule f(0) e f (pi4).
b) Para quais valores de x se tem f(x)=0 ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=det cos(2x) & sin x & 0 cos x & tfrac12 & 0 1 & 0 & 2
e pede (a) os valores de f(0) e fl(tfracpi4r), e (b) os x tais que f(x)=0. Vamos usar propriedades de determinante e trigonometria para resolver.

Passo 2

Como a terceira coluna tem só um elemento não nulo ( 2 em posição (3,3)), fazemos expansão de Laplace por essa coluna. O cofator em (3,3) é
(-1)^3+3,2 = 2,
e o menor correspondente é o determinante da submatriz 2times 2 obtida eliminando linha 3 e coluna 3:
cos(2x) & sin x cos x & tfrac12 =cos(2x),tfrac12-sin xcos x
Logo
f(x)=2l(tfrac12cos(2x)-sin xcos xr)

Passo 3

Distribuindo o 2 e reconhecendo a identidade sin(2x)=2sin xcos x, temos
f(x)=cos(2x)-2sin xcos x =cos(2x)-sin(2x)

Passo 4

Agora é só substituir:
f(0)=cos(0)-sin(0)=1-0=1,
fl(tfracpi4r)=cosl(tfracpi2r)-sinl(tfracpi2r) =0-1=-1

Passo 5

Para achar os zeros, resolvemos
cos(2x)-sin(2x)=0 Longrightarrow cos(2x)=sin(2x) Longrightarrow tan(2x)=1
Isso dá
2x=pi4+kpi,
x=pi8+kpi2, kinZ

Resposta

a) f(0)=1 e fl(tfracpi4r)=-1.
b) f(x)=0 exatamente quando
x=pi8+kpi2, kinZ

Exercícios de Livros Relacionados