(UF-CE) Considere a função polinomial P(x)=x^20+x^12+a x^4+b x+1. Sabendo-se que a e b são números reais, ambos não nulos, e que P(1+i)=4+3 i, então P(21+i) é igual a:
a) 21+i
b) 21-i
c) 12+i
d) 4+3 i

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial
P(x)=x^20+x^12+a,x^4+b,x+1
com a,binRsetminus0, e informa que
P(1+i)=4+3i
Queremos então calcular Pl(tfrac21+ir).

Passo 2

Primeiro simplificamos
21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=2(1-i)2=1-i
Logo precisamos de P(1-i).

Passo 3

Como P tem coeficientes reais, vale a propriedade
P(z)=P(z)
Para z=1+i sabemos P(1+i)=4+3i, logo
P(1-i)=P(1+i)=4-3i

Passo 4

Verificamos também, para consistência, que podemos achar a e b a partir de P(1+i)=4+3i. Seja z=1+i. Então
z^2=2i, z^4=(2i)^2=-4, z^12=(z^4)^3=-64, z^20=(z^4)^5=-1024
Logo
P(z)=-1024-64+a(-4)+b(1+i)+1=-1087-4a+b + b,i
Comparando com 4+3i b=3 e -1087-4a+3=4Rightarrow a=-272. Com esses valores, de fato P(1-i)=4-3i.

Passo 5

Portanto
Pl(tfrac21+ir)=P(1-i)=4-3i

Resposta

4-3i

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