Sendo z1 e z2 números complexos tais que
  • z1 é a raiz cúbica de 8 i que tem afixo no segundo quadrante,
  • z2 satisfaz a equação x^4+x^2-12=0 e lm(z2)>0, calcule |raiz3 z1z2+barz2|.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
|raiz3,z1z2+z2|
sendo z1 uma raiz cúbica de 8i no segundo quadrante e z2 uma raiz da equação x^4+x^2-12=0 com parte imaginária positiva.
Conteúdo necessário: raízes n-ésimas de complexos em forma polar, solução de polinômio biquadrado e cálculo de módulo de número complexo.

Passo 2

Encontrar z1 tal que
z1^3=8i
Escrevendo 8i em forma polar:
8i = 8e^ipi2
As raízes cúbicas têm módulo raiz[,3]8=2 e argumentos
pi2+2kpi3, k=0,1,2
Para k=1 obtemos o ângulo tfracpi/2+2pi3=tfrac5pi6 (segundo quadrante). Logo
z1=2l(costfrac5pi6+isintfrac5pi6r) =-raiz3+i

Passo 3

Resolver x^4+x^2-12=0 por substituição y=x^2:
y^2+y-12=0implies y=-1pmraiz1+482=3,,-4
Logo x=pmraiz3 ou x=pm2i. Como Im(z2)>0, escolhemos
z2=2i,
e
z2=-2i

Passo 4

Calcular
raiz3,z1z2+z2 =raiz3,-raiz3+i2i-2i
Observando 1/(2i)=-tfraci2, temos
-raiz3+i2i =(-raiz3+i)l(-i2r) =12+raiz32i
Multiplicando por raiz3 e somando -2i:
raiz3l(tfrac12+tfracraiz32ir)-2i =raiz32+32i-2i =raiz32-12i
Logo o módulo é
|raiz32-12i| =raizl(tfracraiz32r)^2+l(-tfrac12r)^2 =raiz34+14 =1

Resposta

1

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