é a raiz cúbica de 8 i que tem afixo no segundo quadrante,
satisfaz a equação e , calcule .
Passo 1
O enunciado pede o valor de
|raiz3,z1z2+z2|
sendo z1 uma raiz cúbica de 8i no segundo quadrante e z2 uma raiz da equação x^4+x^2-12=0 com parte imaginária positiva.
Conteúdo necessário: raízes n-ésimas de complexos em forma polar, solução de polinômio biquadrado e cálculo de módulo de número complexo.
Passo 2
Encontrar z1 tal que
z1^3=8i
Escrevendo 8i em forma polar:
8i = 8e^ipi2
As raízes cúbicas têm módulo raiz[,3]8=2 e argumentos
pi2+2kpi3, k=0,1,2
Para k=1 obtemos o ângulo tfracpi/2+2pi3=tfrac5pi6 (segundo quadrante). Logo
z1=2l(costfrac5pi6+isintfrac5pi6r) =-raiz3+i
Passo 3
Resolver x^4+x^2-12=0 por substituição y=x^2:
y^2+y-12=0implies y=-1pmraiz1+482=3,,-4
Logo x=pmraiz3 ou x=pm2i. Como Im(z2)>0, escolhemos
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 6: Complexos, polinômios e equações - 8ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 66