(UE-CE) Os números complexos z1, z2, z3 e z4 são representados, no plano complexo, por quatro pontos, os quais são vértices de um quadrado com lados paralelos aos eixos e inscritos em uma circunferência de centro na origem e raio r. O produto z1 cdot z2 cdot z3 cdot z4 é:
a) um número real positivo.
b) um número real negativo.
c) um número complexo cujo módulo é igual a r2.

Passo 1

O enunciado diz que z1,z2,z3,z4 são os vértices de um quadrado de lados paralelos aos eixos, inscrito numa circunferência de centro na origem e raio r. Para resolver, vamos representar esses vértices como complexos cujas coordenadas satisfazem a distância r ao centro.

Passo 2

Os vértices desse quadrado podem ser escritos em coordenadas cartesianas como (pm a,pm a). Como cada vértice está a distância r da origem, temos
raiza^2 + a^2 = r Longrightarrow a = rraiz2
Logo, podemos escolher
z1 = a + i,a, z2 = -a + i,a, z3 = -a - i,a, z4 = a - i,a

Passo 3

Vamos calcular o produto em pares para simplificar:
z1 z3 = (a + i a)(-a - i a) = -l(a + i ar)^2 = -2i,a^2,
z2 z4 = (-a + i a)(a - i a) = 2i,a^2
Portanto
z1 z2 z3 z4 = (z1 z3),(z2 z4) = (-2i,a^2),(2i,a^2) = -4,i^2,a^4 = 4,a^4

Passo 4

Substituindo a = tfracrraiz2 em 4a^4, vem
4a^4 = 4l(rraiz2r)^4 = 4cdotr^44 = r^4,
que é um número real positivo.

Resposta

a) um número real positivo.

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