Considere a função
, com as restrições
e
. Explique como continuá-la analiticamente ao 4 의 quadrante através do semi-eixo positivo
; e ao 3 은 quadrante através do semi-eixo negativo
.
Passo 1
O enunciado define a raiz quadrada
no ramo principal em que
e satisfaz
isto é, o domínio é o plano complexo com corte ao longo do semi-eixo real positivo e negativo (na prática fica só o semieixo real positivo livre para passagem de
e o negativo é a fronteira
). O objetivo é mostrar como “empurrar” esse ramo para o quarto quadrante (através do semieixo positivo
) e para o terceiro quadrante (através do semieixo negativo
), obtendo continuações analíticas.
Passo 2
Analítica-mente na vizinhança do semieixo positivo
à direita de
:
– Pela definição original, se nos aproximamos do semieixo positivo por cima, e
– Pela definição original, se nos aproximamos do semieixo positivo por cima,
Para atravessar o eixo e entrar no quarto quadrante, permitimos que
passe a ser ligeiramente negativo, isto é
mantendo a mesma fórmula
Assim obtemos uma função analítica no quarto quadrante que coincide com a definição original quando
e, no semieixo positivo de baixo,
continua a dar
.
Passo 3
Analítica-mente na vizinhança do semieixo negativo
à esquerda de
:
– Pela definição original, ao nos aproximarmos do semieixo negativo por cima, e
– Pela definição original, ao nos aproximarmos do semieixo negativo por cima,
Para atravessar e entrar no terceiro quadrante, fazemos
ultrapassar
, passando a variar em
Novamente usamos
que é analítica nessa nova faixa de
. Na fronteira negativa de baixo,
dá
coincidindo com o valor que teríamos vindo do terceiro quadrante para o semieixo negativo.
Passo 4
Em resumo, as duas continuações analíticas são:
- Para entrar no 4.º quadrante, atravessamos o semieixo positivo e definimos
- Para entrar no 3.º quadrante, atravessamos o semieixo negativo e definimos
Em cada caso, a fórmula permanece a mesma e as condições de adesão na fronteira garantem continuidade e analiticidade.
Resposta
A continuação ao 4.º quadrante (através do semieixo positivo) obtém-se estendendo o argumento para
, e ao 3.º quadrante (através do semieixo negativo) estendendo para
, sempre usando