Considere a função w=raizz=r e^i theta / 2, com as restrições r>0 e 0<theta<pi. Explique como continuá-la analiticamente ao 4 의 quadrante através do semi-eixo positivo O x; e ao 3 은 quadrante através do semi-eixo negativo O x.

Passo 1

O enunciado define a raiz quadrada
no ramo principal em que e satisfaz
isto é, o domínio é o plano complexo com corte ao longo do semi-eixo real positivo e negativo (na prática fica só o semieixo real positivo livre para passagem de e o negativo é a fronteira ). O objetivo é mostrar como “empurrar” esse ramo para o quarto quadrante (através do semieixo positivo ) e para o terceiro quadrante (através do semieixo negativo ), obtendo continuações analíticas.

Passo 2

Analítica-mente na vizinhança do semieixo positivo O x à direita de 0:
– Pela definição original, se nos aproximamos do semieixo positivo por cima, thetato0^+ e
w=r,e^itheta/2;longrightarrow;r,e^icdot0/2=r
Para atravessar o eixo e entrar no quarto quadrante, permitimos que theta passe a ser ligeiramente negativo, isto é
-pi<theta<0,
mantendo a mesma fórmula
w=r,e^itheta/2
Assim obtemos uma função analítica no quarto quadrante que coincide com a definição original quando thetato0^+ e, no semieixo positivo de baixo, thetato0^- continua a dar wto r.

Passo 3

Analítica-mente na vizinhança do semieixo negativo O x à esquerda de 0:
– Pela definição original, ao nos aproximarmos do semieixo negativo por cima, thetatopi^- e
w=r,e^itheta/2;longrightarrow;r,e^ipi/2=r,i
Para atravessar e entrar no terceiro quadrante, fazemos theta ultrapassar pi, passando a variar em
pi<theta<2pi
Novamente usamos
w=r,e^itheta/2,
que é analítica nessa nova faixa de theta. Na fronteira negativa de baixo, thetato2pi^-
wto r,e^i(2pi)/2=r,e^ipi=-r,
coincidindo com o valor que teríamos vindo do terceiro quadrante para o semieixo negativo.

Passo 4

Em resumo, as duas continuações analíticas são:
  • Para entrar no 4.º quadrante, atravessamos o semieixo positivo e definimos w=r,e^itheta/2, -pi<theta<pi
  • Para entrar no 3.º quadrante, atravessamos o semieixo negativo e definimos w=r,e^itheta/2, 0<theta<2pi
Em cada caso, a fórmula permanece a mesma e as condições de adesão na fronteira garantem continuidade e analiticidade.

Resposta

A continuação ao 4.º quadrante (através do semieixo positivo) obtém-se estendendo o argumento para -pi<theta<pi, e ao 3.º quadrante (através do semieixo negativo) estendendo para 0<theta<2pi, sempre usando
w=r,e^itheta/2

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