Prove a recíproca do Teorema 6.4, isto é, que, se para todo z in R, então f(z) é real para z real em R.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a recíproca do Teorema 6.4: assumindo que
f(z) = f(bar z)
para todo z num domínio R, devemos provar que, sempre que z for real (e ainda estiver em R), o valor f(z) é um número real. Vamos usar a propriedade básica do conjugado de números complexos e o fato de que, se z é real, então bar z = z.
Passo 2
Se z é real e está em R, então bar z=z. Pela hipótese do enunciado temos
f(z) ;=; f(bar z)
Como bar z=z para z real, isso dá
f(z) ;=; f(z)
Passo 3
A igualdade f(z)=f(z) significa exatamente que f(z) é igual ao seu conjugado. Mas o único número complexo que é igual ao seu conjugado é um número real. Logo, f(z) é real sempre que z for real.
Resposta
Dessa forma, provamos que se f(z)=f(bar z) em R, então para todo zin R real vale f(z)inR.
Cálculo - Geraldo Ávila - Variáveis Complexas e Aplicações - 3ª Edição - Capítulo 6.Continuação analítica por reflexão - Ex. 10