Seja f uma função analítica e não-constante numa região R, e seja F um subconjunto fechado e limitado de R. Prove que só pode haver um número finito de pontos de F onde f assume o mesmo valor. Prove, em particular, que se f é uma função nãoconstante e regular num ponto z0, então existe de<a>0 tal que f(z) neq f(z0) para todo
z in Vde<a^prime(z0). (Observe que esta propriedade segue também do Corolário 3.23 da p. 114.)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f analítica e não-constante numa região R e um conjunto Fsubset R fechado e limitado (portanto compacto). Queremos mostrar que, para um valor fixo w, o conjunto
Zw = ,zin F : f(z)=w
é finito. Em particular, tomando w=f(z0) com z0in R, isso nos leva à existência de um de<a>0 tal que f(z)neq f(z0) em todo o vizinho pontuado 0<|z-z0|<de<a. Para isso usaremos o fato de que zeros de funções analíticas não-constantes são isolados, e depois compacticidade de F.

Passo 2

Como f é analítica e não-constante em R, a função
g(z)=f(z)-w
também é analítica e não-identicamente nula em R. Pela propriedade clássica de zeros isolados, cada ponto z* com g(z*)=0 possui um raio r>0 tal que
g(z)neq 0 para 0<|z-z*|<r
Ou seja, cada zero de g é isolado num disco centrado nele.

Passo 3

Suponha, por contradição, que Zwsubset F seja infinito. Como F é compacto, qualquer sequência em Zw tem uma sub-sequência convergente a um ponto z^*in F. Mas então temos uma sequência de zeros de g que acumula em z^*. Pela unicidade de analíticas, isso forçaria gequiv 0 numa vizinhança de z^*, e portanto f seria constante ali, contradizendo nossa hipótese de não-constância. Logo, Zw não pode ter acumulacão e, por ser infinito, teria acumulá-los—impossível. Concluímos que Zw é finito.

Passo 4

Em particular, fixe z0in R e tome w=f(z0). Então o conjunto
Zf(z0)=,zin F : f(z)=f(z0)
é finito. Escolhendo F pequeno o bastante para ser um disco centrado em z0, isso implica que existe de<a>0 tal que, no disco pontuado 0<|z-z0|<de<a, não há nenhum outro zero de f(z)-f(z0) além de z0. Em outras palavras,
f(z)neq f(z0) para todo 0<|z-z0|<de<a

Resposta

Foi provado que, para qualquer valor w, o conjunto dos pontos em F onde f(z)=w é finito, usando a isolação dos zeros de funções analíticas não-constantes e a compacidade de F. Em particular, existe de<a>0 tal que
f(z)neq f(z0) para todo 0<|z-z0|<de<a

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