Seja
uma função analítica e não-constante numa região
, e seja
um subconjunto fechado e limitado de
. Prove que só pode haver um número finito de pontos de
onde
assume o mesmo valor. Prove, em particular, que se
é uma função nãoconstante e regular num ponto
, então existe
tal que
para todo
. (Observe que esta propriedade segue também do Corolário 3.23 da p. 114.)
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
analítica e não-constante numa região
e um conjunto
fechado e limitado (portanto compacto). Queremos mostrar que, para um valor fixo
, o conjunto
é finito. Em particular, tomando
com
, isso nos leva à existência de um
tal que
em todo o vizinho pontuado
. Para isso usaremos o fato de que zeros de funções analíticas não-constantes são isolados, e depois compacticidade de
.
Passo 2
Como
é analítica e não-constante em
, a função
também é analítica e não-identicamente nula em
. Pela propriedade clássica de zeros isolados, cada ponto
com
possui um raio
tal que
Ou seja, cada zero de
é isolado num disco centrado nele.
Passo 3
Suponha, por contradição, que
seja infinito. Como
é compacto, qualquer sequência em
tem uma sub-sequência convergente a um ponto
. Mas então temos uma sequência de zeros de
que acumula em
. Pela unicidade de analíticas, isso forçaria
numa vizinhança de
, e portanto
seria constante ali, contradizendo nossa hipótese de não-constância. Logo,
não pode ter acumulacão e, por ser infinito, teria acumulá-los—impossível. Concluímos que
é finito.
Passo 4
Em particular, fixe
e tome
. Então o conjunto
é finito. Escolhendo
pequeno o bastante para ser um disco centrado em
, isso implica que existe
tal que, no disco pontuado
, não há nenhum outro zero de
além de
. Em outras palavras,
Resposta
Foi provado que, para qualquer valor
, o conjunto dos pontos em
onde
é finito, usando a isolação dos zeros de funções analíticas não-constantes e a compacidade de
. Em particular, existe
tal que